Seja y = f(x) a equação de uma curva C que tem inclinação igual a 1 em x = 0. Se f''(x) = x^3 + raiz(2) * (e^(2x) + e^(-2x)) / 2, determine a curvatura de C quando x = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa aqui. Temos a equação de uma curva dada por . Sabemos que a inclinação (ou derivada primeira) dessa curva em é igual a 1. Além disso, a segunda derivada de , que é , nos foi dada. Nosso objetivo é encontrar a curvatura dessa curva quando .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a curvatura. A curvatura ( ) de uma curva em um ponto específico mede o quanto a curva está “curvando” naquele ponto. Para funções , a fórmula da curvatura é:
Então, precisamos da primeira e segunda derivadas de no ponto .

Passo 3

A segunda derivada já foi dada:
Vamos calcular :

Passo 4

Agora, precisamos da primeira derivada . Como nos foi dito que a inclinação em é 1, temos:

Passo 5

Vamos substituir e na fórmula da curvatura:

Passo 6

Simplificando :
Agora, substituindo de volta na expressão da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva quando é .

Exercícios relacionados

Nos itens 1 a 3, mostre que integralC f(z) d z=0 ( f e C serão especificados).
(Bônus) Uma parametrização para a astróide é
α(t) = (cos^3(t), sen^3(t)), 0 <= t <= 2 pi
Determine o comprimento da astróide.
O campo de velocidades de um fluido e F = x i + z j + y k. Encontre o escoamento ao longo da hélice r(t) = (cos(t)) i + (sen(t)) j + t k, com 0 <= t <= pi / 2.
Encontre a circulação do campo F = (x - y) i + x j ao redor da circunferência r(t) (cos(t)) * i + (sen(t)) * j, com 0 <= t <= 2 pi.