Seja
a equação de uma curva
que tem inclinação igual a 1 em
. Se
, determine a curvatura de
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente precisa aqui. Temos a equação de uma curva
dada por
. Sabemos que a inclinação (ou derivada primeira) dessa curva em
é igual a 1. Além disso, a segunda derivada de
, que é
, nos foi dada. Nosso objetivo é encontrar a curvatura dessa curva
quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a curvatura. A curvatura (
) de uma curva em um ponto específico mede o quanto a curva está “curvando” naquele ponto. Para funções
, a fórmula da curvatura é:
Então, precisamos da primeira e segunda derivadas de
no ponto
.
Passo 3
A segunda derivada já foi dada:
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, precisamos da primeira derivada
. Como nos foi dito que a inclinação em
é 1, temos:
Passo 5
Vamos substituir
e
na fórmula da curvatura:
Passo 6
Simplificando
:
Agora, substituindo de volta na expressão da curvatura:
Resposta
A curvatura da curva
quando
é
.
Exercícios relacionados
Nos itens 1 a 3, mostre que
(
e
serão especificados).
(Bônus) Uma parametrização para a astróide é
Determine o comprimento da astróide.
O campo de velocidades de um fluido e
. Encontre o escoamento ao longo da hélice
.
Encontre a circulação do campo
ao redor da circunferência
.