Seja C um caminho qualquer ligando os pontos z1 e z2. Mostre que integralC 1 cdot d z só depende de z1 e z2 ou, precisamente, que
integralC 1 cdot d z=z2-z1
Conclua que
ointC 1 cdot d z=0
para qualquer caminho fechado C.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um caminho integralC 1 cdot dz, que conecta dois pontos no plano complexo, chamados ointC 1 cdot dz = 0 e . O objetivo é mostrar que a integral de em relação a ao longo desse caminho , representada por
depende apenas dos pontos iniciais e finais, ou seja, de e . Além disso, queremos concluir que, se o caminho for fechado (ou seja, se termina onde começou), a integral será igual a zero:
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de integrais na análise complexa e como integrando uma constante (neste caso, ) afeta o resultado da integral.

Passo 2

Vamos começar calculando a integral integralC c cdot dz = c cdot (z2 - z1) . Aqui, integralC 1 cdot dz = 1 cdot (z2 - z1) = z2 - z1 é uma função constante em relação a , e representa um diferencial complexo ao longo do caminho .
Na análise complexa, a integral de uma função constante em relação a ao longo de um caminho de para é dada por:
No nosso caso, como , a integral se simplifica para:
Isso mostra que a integral depende apenas dos pontos de início e fim do caminho, não do caminho específico que escolhemos entre eles.

Passo 3

Agora, vamos considerar o caso de um caminho fechado, ou seja, um caminho ointC 1 cdot dz = z1 - z1 = 0 que começa e termina no mesmo ponto, digamos . Nesse caso, substituímos por na expressão que encontramos:
Portanto, a integral de em relação a ao longo de qualquer caminho fechado é igual a zero.

Resposta

A integral de ointC 1 cdot dz = 0 em relação a ao longo de um caminho de para é . Além disso, para qualquer caminho fechado , a integral é igual a zero:

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Calcule a curvatura da curva alpha(t)=(integrala^t sen z d z, integrala^t cos z d z).
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(Bônus) Uma parametrização para a astróide é
α(t) = (cos^3(t), sen^3(t)), 0 <= t <= 2 pi
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