Seja
um caminho qualquer ligando os pontos
e
. Mostre que
só depende de
e
ou, precisamente, que
Conclua que
para qualquer caminho fechado
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um caminho
que conecta dois pontos no plano complexo, chamados
e
. O objetivo é mostrar que a integral de
em relação a
ao longo desse caminho
, representada por
depende apenas dos pontos iniciais e finais, ou seja, de
e
. Além disso, queremos concluir que, se o caminho for fechado (ou seja, se termina onde começou), a integral será igual a zero:
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de integrais na análise complexa e como integrando uma constante (neste caso,
) afeta o resultado da integral.
Passo 2
Vamos começar calculando a integral
. Aqui,
é uma função constante em relação a
, e
representa um diferencial complexo ao longo do caminho
.
Na análise complexa, a integral de uma função constante
em relação a
ao longo de um caminho
de
para
é dada por:
No nosso caso, como
, a integral se simplifica para:
Isso mostra que a integral depende apenas dos pontos de início e fim do caminho, não do caminho específico que escolhemos entre eles.
Passo 3
Agora, vamos considerar o caso de um caminho fechado, ou seja, um caminho
que começa e termina no mesmo ponto, digamos
. Nesse caso, substituímos
por
na expressão que encontramos:
Portanto, a integral de
em relação a
ao longo de qualquer caminho fechado
é igual a zero.
Resposta
A integral de
em relação a
ao longo de um caminho
de
para
é
. Além disso, para qualquer caminho fechado
, a integral é igual a zero:
Exercícios relacionados
Calcule a curvatura da curva
.
Nos itens 1 a 3, calcule a integral de
ao longo do caminho
(
e
são descritos em cada caso).
e
.
(Bônus) Uma parametrização para a astróide é
Determine o comprimento da astróide.
Nos itens 1 a 3, mostre que
(
e
serão especificados).