e as bases e , determinar , a matriz de nas bases e . Use para determinar .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . Além disso, temos duas bases: para e para . Nosso objetivo é encontrar a matriz que representa a transformação nessas bases e, depois, usar essa matriz para determinar as coordenadas de na base . Para isso, vamos precisar entender como transformar vetores de uma base para outra e como representar transformações lineares por matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz da transformação nas bases e . A matriz tem como colunas as coordenadas dos vetores transformados , e na base .
Passo 2.1: Calcular , e
Vamos aplicar a transformação em cada vetor da base :
Passo 2.2: Expressar , e na base
Queremos encontrar as coordenadas desses vetores na base , onde:
Para cada vetor , precisamos encontrar escalares e tais que:
Vamos resolver isso para cada :
Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: . Substituindo na primeira:
Então, .
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: . Substituindo na segunda:
Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: . Substituindo na primeira:
Passo 2.3: Construir a matriz
Agora, colocamos essas coordenadas como colunas na matriz :
Passo 3
Agora que temos a matriz , vamos usá-la para encontrar as coordenadas de na base , ou seja, .
Passo 3.1: Encontrar as coordenadas de na base
Primeiro, precisamos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base :
Isso resulta no sistema:
Resolvendo:
Então:
Passo 3.2: Aplicar a matriz nas coordenadas de na base
Agora, multiplicamos a matriz pelas coordenadas que acabamos de encontrar: