(Bōnus: 2 pontos) Dadas a transformação linear
T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(2 x-y+z, 3 x+y-2 z)
e as bases alpha=v1=(1,1,1), v2=(0,1,1), v3=(0,0,1) e beta=w1=(2,1), w2= (5,3), determinar AT, a matriz de T nas bases alpha e beta. Use AT para determinar T(3,-4,2)]beta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . Além disso, temos duas bases: para e para . Nosso objetivo é encontrar a matriz que representa a transformação nessas bases e, depois, usar essa matriz para determinar as coordenadas de na base . Para isso, vamos precisar entender como transformar vetores de uma base para outra e como representar transformações lineares por matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz T(v1) = 2(1) - 1 + 1 = 2 - 1 + 1 = 2 T(v1) = 3(1) + 1 - 2(1) = 3 + 1 - 2 = 2 Rightarrow T(v1) = (2, 2) da transformação T(v2) = 2(0) - 1 + 1 = 0 - 1 + 1 = 0 T(v2) = 3(0) + 1 - 2(1) = 0 + 1 - 2 = -1 Rightarrow T(v2) = (0, -1) nas bases T(v3) = 2(0) - 0 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1 T(v3) = 3(0) + 0 - 2(1) = 0 + 0 - 2 = -2 Rightarrow T(v3) = (1, -2) e w1 = (2, 1) w2 = (5, 3) . A matriz T(vi) = a w1 + b w2 tem como colunas as coordenadas dos vetores transformados 2 = 2a + 5b 2 = a + 3b , 2a + 5b = 2 a + 3b = 2 e 2(2 - 3b) + 5b = 2 4 - 6b + 5b = 2 -b = -2 b = 2 na base [T(v1)]beta = -4 2 .
Passo 2.1: Calcular 0 = 2a + 5b -1 = a + 3b , -1 = -52b + 3b -1 = 12b b = -2 a = -52(-2) = 5 e [T(v2)]beta = 5 -2
Vamos aplicar a transformação 1 = 2a + 5b -2 = a + 3b em cada vetor da base 2(-2 - 3b) + 5b = 1 -4 - 6b + 5b = 1 -b = 5 b = -5 a = -2 - 3(-5) = -2 + 15 = 13 :
  • [T(v3)]beta = 13 -5
    AT = -4 & 5 & 13 2 & -2 & -5
Passo 2.2: Expressar , e na base
Queremos encontrar as coordenadas desses vetores na base , onde:
Para cada vetor , precisamos encontrar escalares e tais que:
Vamos resolver isso para cada :
  • Para :
    Resolvendo o sistema:
    Da segunda equação: . Substituindo na primeira:
    Então, .
  • Para :
    Resolvendo o sistema:
    Da primeira equação: . Substituindo na segunda:
  • Para :
    Resolvendo o sistema:
    Da segunda equação: . Substituindo na primeira:
Passo 2.3: Construir a matriz
Agora, colocamos essas coordenadas como colunas na matriz :

Passo 3

Agora que temos a matriz (3, -4, 2) = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 (3, -4, 2) = c1 (1, 1, 1) + c2 (0, 1, 1) + c3 (0, 0, 1) , vamos usá-la para encontrar as coordenadas de c1 = 3 c1 + c2 = -4 c1 + c2 + c3 = 2 na base c1 = 3 3 + c2 = -4 Rightarrow c2 = -7 3 - 7 + c3 = 2 Rightarrow c3 = 6 , ou seja, [(3, -4, 2)]alpha = 3 -7 6 .
Passo 3.1: Encontrar as coordenadas de AT cdot 3 -7 6 = -4 & 5 & 13 2 & -2 & -5 cdot 3 -7 6 na base -4(3) + 5(-7) + 13(6) = -12 -35 + 78 = 31 2(3) + (-2)(-7) + (-5)(6) = 6 + 14 -30 = -10
Primeiro, precisamos expressar o vetor [T(3, -4, 2)]beta = 31 -10 como uma combinação linear dos vetores da base :
Isso resulta no sistema:
Resolvendo:
Então:
Passo 3.2: Aplicar a matriz nas coordenadas de na base
Agora, multiplicamos a matriz pelas coordenadas que acabamos de encontrar:
Calculando:
Portanto:

Resposta

A matriz da transformação AT = -4 & 5 & 13 2 & -2 & -5 nas bases [T(3, -4, 2)]beta = 31 -10 e é
e as coordenadas de na base são

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