(Bōnus: 2 pontos) Dadas a transformação linear
e as bases e , determinar , a matriz de nas bases e . Use para determinar .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . Além disso, temos duas bases: para e para . Nosso objetivo é encontrar a matriz que representa a transformação nessas bases e, depois, usar essa matriz para determinar as coordenadas de na base . Para isso, vamos precisar entender como transformar vetores de uma base para outra e como representar transformações lineares por matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz da transformação nas bases e . A matriz tem como colunas as coordenadas dos vetores transformados , e na base .
Passo 2.1: Calcular , e
Vamos aplicar a transformação em cada vetor da base :
Passo 2.2: Expressar , e na base
Queremos encontrar as coordenadas desses vetores na base , onde:
Para cada vetor , precisamos encontrar escalares e tais que:
Vamos resolver isso para cada :
  • Para :
    Resolvendo o sistema:
    Da segunda equação: . Substituindo na primeira:
    Então, .
  • Para :
    Resolvendo o sistema:
    Da primeira equação: . Substituindo na segunda:
  • Para :
    Resolvendo o sistema:
    Da segunda equação: . Substituindo na primeira:
Passo 2.3: Construir a matriz
Agora, colocamos essas coordenadas como colunas na matriz :

Passo 3

Agora que temos a matriz , vamos usá-la para encontrar as coordenadas de na base , ou seja, .
Passo 3.1: Encontrar as coordenadas de na base
Primeiro, precisamos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base :
Isso resulta no sistema:
Resolvendo:
Então:
Passo 3.2: Aplicar a matriz nas coordenadas de na base
Agora, multiplicamos a matriz pelas coordenadas que acabamos de encontrar:
Calculando:
Portanto:

Resposta

A matriz da transformação nas bases e é
e as coordenadas de na base são

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Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(b)
Para cada uma das matrizes abaixo
(a) Encontre uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determine o posto dessa transformação.
Encontre as coordenadas de em relação à base ordenada B.
Uma transformaçâo linear é definida por e . Determinar .