Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços de uma matriz específica. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e soluções de equações polinomiais. Vamos precisar manipular a matriz dada e aplicar algumas fórmulas básicas para resolver.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar o polinômio característico da matriz. O polinômio característico de uma matriz
é dado por:
onde
representa o determinante,
é um escalar e
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
.
Passo 3
Vamos montar a matriz
. A matriz dada é:
A matriz identidade
2x2 é:
Então,
fica:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz para encontrar o polinômio característico:
Vamos expandir:
Então, o polinômio característico é:
Passo 5
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica
:
Podemos resolver essa equação pelo método da fatoração ou usando a fórmula de Bhaskara. Nesse caso, vamos fatorar:
Então, temos um autovalor de multiplicidade 2:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autoespaços associados a esse autovalor. O autoespaço é o conjunto de vetores
que satisfazem:
Com
, temos:
Resolvendo o sistema linear:
Isso simplifica para:
Então, os vetores
são da forma
, onde
é um escalar. Portanto, o autoespaço é:
Resposta
O polinômio característico da matriz é
. O único autovalor é
e o autoespaço correspondente é o conjunto de todos os múltiplos de
.
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Para cada uma das matrizes abaixo
(a) Encontre uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determine o posto dessa transformação.
Sabendo que
e
, calcular
(Bōnus: 2 pontos) Dadas a transformação linear
e as bases
e
, determinar
, a matriz de
nas bases
e
. Use
para determinar
.
Encontre as coordenadas de
em relação à base ordenada B.