Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(b) [cc1 & 1 -1 & 3]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços de uma matriz específica. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e soluções de equações polinomiais. Vamos precisar manipular a matriz dada e aplicar algumas fórmulas básicas para resolver.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar o polinômio característico da matriz. O polinômio característico de uma matriz p(lambda) = det(A - lambda I) é dado por:
onde representa o determinante, é um escalar e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz A = 1 & 1 -1 & 3 . A matriz dada é:
I = 1 & 0 0 & 1
A matriz identidade A - lambda I = 1 - lambda & 1 -1 & 3 - lambda 2x2 é:
Então, fica:

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz para encontrar o polinômio característico:
p(lambda) = det(A - lambda I) = (1 - lambda)(3 - lambda) - (1)(-1)
Vamos expandir:
p(lambda) = (1 - lambda)(3 - lambda) + 1 = (3 - lambda - 3lambda + lambda^2) + 1 = lambda^2 -4lambda +4
Então, o polinômio característico é:
p(lambda) = lambda^2 - 4lambda + 4

Passo 5

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica lambda^2 - 4lambda + 4 = 0 :
lambda^2 - 4lambda + 4 = (lambda - 2)^2 = 0
Podemos resolver essa equação pelo método da fatoração ou usando a fórmula de Bhaskara. Nesse caso, vamos fatorar:
lambda = 2
Então, temos um autovalor de multiplicidade 2:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autoespaços associados a esse autovalor. O autoespaço é o conjunto de vetores (A - lambda I)v = 0 que satisfazem:
A - 2I = 1 - 2 & 1 -1 & 3 - 2 = -1 & 1 -1 & 1
Com -1x + 1y = 0 -1x + 1y = 0 , temos:
x = y
Resolvendo o sistema linear:
t t
Isso simplifica para:
Elambda=2 = t 1 1 , | , t in R
Então, os vetores são da forma , onde é um escalar. Portanto, o autoespaço é:

Resposta

O polinômio característico da matriz é 1 1 . O único autovalor é e o autoespaço correspondente é o conjunto de todos os múltiplos de .

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