Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços de uma matriz específica. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e soluções de equações polinomiais. Vamos precisar manipular a matriz dada e aplicar algumas fórmulas básicas para resolver.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar o polinômio característico da matriz. O polinômio característico de uma matriz é dado por:
onde representa o determinante, é um escalar e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz . A matriz dada é:
A matriz identidade 2x2 é:
Então, fica:

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz para encontrar o polinômio característico:
Vamos expandir:
Então, o polinômio característico é:

Passo 5

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica :
Podemos resolver essa equação pelo método da fatoração ou usando a fórmula de Bhaskara. Nesse caso, vamos fatorar:
Então, temos um autovalor de multiplicidade 2:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autoespaços associados a esse autovalor. O autoespaço é o conjunto de vetores que satisfazem:
Com , temos:
Resolvendo o sistema linear:
Isso simplifica para:
Então, os vetores são da forma , onde é um escalar. Portanto, o autoespaço é:

Resposta

O polinômio característico da matriz é . O único autovalor é e o autoespaço correspondente é o conjunto de todos os múltiplos de .

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