Uma transformaçâo linear T: R^2 R^2 é definida por T(1,0)=(2,-3) e T(0,1)= (-4,1). Determinar T(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a transformação linear dada por e . Vamos usar conceitos de transformações lineares em álgebra linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Se conhecemos a imagem dos vetores base e , podemos montar essa matriz.

Passo 3

Vamos montar a matriz de transformação A = 2 & -4 -3 & 1 usando os vetores dados:
Aqui, a primeira coluna é e a segunda coluna é .

Passo 4

Agora, para encontrar T(x, y) = A cdot x y = 2x + (-4)y -3x + 1y , multiplicamos a matriz pelo vetor :

Passo 5

Simplificando as equações, temos:
T(x, y) = 2x - 4y -3x + y

Resposta

A transformação linear é dada por:
T(x, y) = (2x - 4y, -3x + y)

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