Para cada uma das matrizes abaixo
(a) Encontre uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determine o posto dessa transformação.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma matriz
:
A questão quer que a gente encontre uma base para a imagem da transformação linear associada a essa matriz e determine o posto dessa transformação. Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre transformações lineares, imagem (ou gama), base e posto (ou rank). Para resolver, vamos precisar identificar quais vetores formam a imagem dessa matriz e contar quantos vetores independentes temos nessa imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a imagem de uma transformação linear. Se temos uma transformação
, a imagem de
é o conjunto de todos os vetores que você consegue obter aplicando
a vetores de
. Quando a transformação é representada por uma matriz
, a imagem de
é simplesmente o espaço gerado pelas colunas de
. Ou seja, é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de
.
Passo 3
Vamos olhar para as colunas da matriz dada:
As colunas são
e
. Para formar uma base para a imagem, precisamos que essas colunas sejam linearmente independentes. Isso significa que nenhuma das colunas pode ser escrita como múltiplo da outra.
Passo 4
Vamos verificar a independência linear das colunas:
- Primeira coluna:
- Segunda coluna:
Vemos que a primeira coluna tem um 1 na primeira posição e 0 na segunda, enquanto a segunda coluna tem 0 na primeira posição e -1 na segunda. Não há como multiplicar a primeira coluna por algum escalar para obter a segunda coluna, e vice-versa. Portanto, as duas colunas são linearmente independentes.
Passo 5
Como as duas colunas são linearmente independentes, elas formam uma base para a imagem da matriz. O posto (ou rank) da transformação é o número de vetores na base da imagem. Nesse caso, temos duas colunas independentes, então o posto é 2.
Resposta
Uma base para a imagem da transformação é
e o posto (rank) da transformação é 2.
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Sabendo que
e
, calcular
Seja
o operador identidade (ou seja,
para todo
) e considere uma base
de
. Determine a matriz
que representa o operador
em relação à base
.
Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(b)
(b)
(Bōnus: 2 pontos) Dadas a transformação linear
e as bases
e
, determinar
, a matriz de
nas bases
e
. Use
para determinar
.