Para cada uma das matrizes abaixo
(a) Encontre uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determine o posto dessa transformação.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma matriz :
A questão quer que a gente encontre uma base para a imagem da transformação linear associada a essa matriz e determine o posto dessa transformação. Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre transformações lineares, imagem (ou gama), base e posto (ou rank). Para resolver, vamos precisar identificar quais vetores formam a imagem dessa matriz e contar quantos vetores independentes temos nessa imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a imagem de uma transformação linear. Se temos uma transformação , a imagem de é o conjunto de todos os vetores que você consegue obter aplicando a vetores de . Quando a transformação é representada por uma matriz , a imagem de é simplesmente o espaço gerado pelas colunas de . Ou seja, é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de .

Passo 3

Vamos olhar para as colunas da matriz dada:
As colunas são e . Para formar uma base para a imagem, precisamos que essas colunas sejam linearmente independentes. Isso significa que nenhuma das colunas pode ser escrita como múltiplo da outra.

Passo 4

Vamos verificar a independência linear das colunas:
  • Primeira coluna:
  • Segunda coluna:
Vemos que a primeira coluna tem um 1 na primeira posição e 0 na segunda, enquanto a segunda coluna tem 0 na primeira posição e -1 na segunda. Não há como multiplicar a primeira coluna por algum escalar para obter a segunda coluna, e vice-versa. Portanto, as duas colunas são linearmente independentes.

Passo 5

Como as duas colunas são linearmente independentes, elas formam uma base para a imagem da matriz. O posto (ou rank) da transformação é o número de vetores na base da imagem. Nesse caso, temos duas colunas independentes, então o posto é 2.

Resposta

Uma base para a imagem da transformação é e o posto (rank) da transformação é 2.

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Sabendo que e , calcular
Seja o operador identidade (ou seja, para todo ) e considere uma base de . Determine a matriz que representa o operador em relação à base .
Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(b)
(Bōnus: 2 pontos) Dadas a transformação linear
e as bases e , determinar , a matriz de nas bases e . Use para determinar .