Encontre as coordenadas de p=1+4 x+7 x^2 em relação à base ordenada B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos as coordenadas do polinômio em relação a uma base ordenada . Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente no estudo de bases e coordenadas em espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base e como expressar um vetor (ou polinômio, nesse caso) em termos dessa base.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base ordenada. Em Álgebra Linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso dos polinômios de grau no máximo 2, uma base comum é . Essa é a base padrão, onde cada elemento representa um termo do polinômio.

Passo 3

Agora, para encontrar as coordenadas de p = a cdot 1 + b cdot x + c cdot x^2 em relação a essa base , precisamos expressar como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:

Passo 4

Comparando os coeficientes do polinômio 1 = a cdot 1 Rightarrow a = 1 com a combinação linear acima, podemos identificar diretamente os valores de 4x = b cdot x Rightarrow b = 4 , 7x^2 = c cdot x^2 Rightarrow c = 7 e . Observando que:

Resposta

As coordenadas de em relação à base ordenada são .

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