(Bônus) Seja
dada por
. Sendo
a reta tangente à curva dada em um ponto
, considere o ponto
em que
intercepta o ponto
. Mostre que
, e que tais plano descrevem a parábola definida por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma curva no espaço tridimensional definida por
. A gente precisa encontrar a reta tangente a essa curva em um ponto específico
(que não é o ponto inicial da curva, ou seja,
). Depois, vamos descobrir onde essa reta tangente intercepta o plano onde
, chamando esse ponto de
. Por fim, vamos mostrar que
para
, e que esses pontos
formam uma parábola definida por
no plano
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e equações de retas no espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a reta tangente à curva
em um ponto
. Para isso, vamos calcular a derivada de
, que nos dá o vetor tangente à curva nesse ponto. A derivada de
em relação a
é:
Esse vetor
representa a direção da reta tangente no ponto
.
Passo 3
Com o ponto
e o vetor tangente
, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente
. A equação de uma reta no espaço pode ser escrita como:
Substituindo os valores de
e
, temos:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o ponto
onde a reta tangente
intercepta o plano onde
. Isso significa que vamos encontrar o valor de
que faz com que a coordenada
de
seja zero. Vamos igualar a componente
a zero:
Resolvendo para
:
Passo 5
Com o valor de
, podemos substituir de volta nas coordenadas
e
da reta
para encontrar as coordenadas de
. Vamos calcular:
Portanto, o ponto
é:
Passo 6
Agora, vamos mostrar que os pontos
descrevem a parábola
no plano
. Para isso, vamos relacionar
e
a partir das coordenadas de
.
Sabemos que:
Vamos resolver a primeira equação para
:
Agora, substituímos esse valor de
na equação de
:
Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar:
Isso confirma que os pontos
satisfazem a equação da parábola
no plano
.
Resposta
Portanto, mostramos que
para
, e que esses pontos formam a parábola definida por
no plano
.
Exercícios relacionados
Calcule
.
Dada a função
para qual valor de
é contínua em
?
Usando substituição de variável, resolva as integrais abaixo :
(g)
(g)
Resolva as integrais de funções trigonométricas:
(f)
(f)