(Bônus) Seja dada por . Sendo a reta tangente à curva dada em um ponto , considere o ponto em que intercepta o ponto . Mostre que , e que tais plano descrevem a parábola definida por e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma curva no espaço tridimensional definida por . A gente precisa encontrar a reta tangente a essa curva em um ponto específico (que não é o ponto inicial da curva, ou seja, ). Depois, vamos descobrir onde essa reta tangente intercepta o plano onde , chamando esse ponto de . Por fim, vamos mostrar que para , e que esses pontos formam uma parábola definida por no plano . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e equações de retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a reta tangente à curva em um ponto . Para isso, vamos calcular a derivada de , que nos dá o vetor tangente à curva nesse ponto. A derivada de em relação a é:
Esse vetor representa a direção da reta tangente no ponto .

Passo 3

Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente . A equação de uma reta no espaço pode ser escrita como:
Substituindo os valores de e , temos:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o ponto onde a reta tangente intercepta o plano onde . Isso significa que vamos encontrar o valor de que faz com que a coordenada de seja zero. Vamos igualar a componente a zero:
Resolvendo para :

Passo 5

Com o valor de , podemos substituir de volta nas coordenadas e da reta para encontrar as coordenadas de . Vamos calcular:
á
Portanto, o ponto é:

Passo 6

Agora, vamos mostrar que os pontos descrevem a parábola no plano . Para isso, vamos relacionar e a partir das coordenadas de .
Sabemos que:
Vamos resolver a primeira equação para :
Agora, substituímos esse valor de na equação de :
Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar:
Isso confirma que os pontos satisfazem a equação da parábola no plano .

Resposta

Portanto, mostramos que para , e que esses pontos formam a parábola definida por no plano .

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Calcule .
Dada a função
para qual valor de é contínua em ?
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(g)
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(f)