(Bônus) Seja alpha: R -> R^3 dada por alpha(t) = (t, t^2, t^3), t em R. Sendo L a reta tangente à curva dada em um ponto Q != alpha(0), considere o ponto M(t) em que L intercepta o ponto z = 0. Mostre que M(t) = (2t/3, t^2/3, 0), t ≠ 0, e que tais plano descrevem a parábola definida por 4y = 3x^2 e z = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma curva no espaço tridimensional definida por . A gente precisa encontrar a reta tangente a essa curva em um ponto específico Q (que não é o ponto inicial da curva, ou seja, Q != alpha(0)). Depois, vamos descobrir onde essa reta tangente intercepta o plano onde , chamando esse ponto de M(t). Por fim, vamos mostrar que para t != 0, e que esses pontos M(t) formam uma parábola definida por no plano . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e equações de retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a reta tangente à curva alpha(t) em um ponto . Para isso, vamos calcular a derivada de alpha(t), que nos dá o vetor tangente à curva nesse ponto. A derivada de alpha(t) em relação a t é:
Esse vetor representa a direção da reta tangente no ponto Q.

Passo 3

Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente L. A equação de uma reta no espaço pode ser escrita como:
Substituindo os valores de Q e , temos:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o ponto M(t) onde a reta tangente intercepta o plano onde . Isso significa que vamos encontrar o valor de s que faz com que a coordenada z de seja zero. Vamos igualar a componente z a zero:
Resolvendo para s:

Passo 5

Com o valor de s, podemos substituir de volta nas coordenadas x e y da reta para encontrar as coordenadas de M(t). Vamos calcular:
á
Portanto, o ponto M(t) é:

Passo 6

Agora, vamos mostrar que os pontos M(t) descrevem a parábola no plano . Para isso, vamos relacionar x e y a partir das coordenadas de M(t).
Sabemos que:
Vamos resolver a primeira equação para t:
Agora, substituímos esse valor de t na equação de y:
Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar:
Isso confirma que os pontos M(t) satisfazem a equação da parábola no plano .

Resposta

Portanto, mostramos que para t != 0, e que esses pontos formam a parábola definida por no plano .

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