Calcule lim (x, y) (2,1) x y-x-2 y+2raizx^2+y^2-4 x-2 y+5.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (2,1). O conteúdo principal aqui envolve limites de funções de várias variáveis e um pouco de álgebra para simplificar expressões. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão algébrica para facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no numerador da fração: xy - x - 2y + 2. A ideia é tentar fatorar essa expressão para ver se conseguimos simplificar a fração.

Passo 3

Vamos agrupar os termos que têm x e os que têm y:
xy - x - 2y + 2 = x(y - 1) - 2(y - 1) = (x - 2)(y - 1)
Assim, conseguimos fatorar o numerador como (x - 2)(y - 1).

Passo 4

Agora, vamos analisar o denominador: raizx^2 + y^2 - 4x - 2y + 5. Queremos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 5

Vamos completar o quadrado para as variáveis x e y:
x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4
y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1
Substituindo de volta na expressão original do denominador:
(x - 2)^2 - 4 + (y - 1)^2 - 1 + 5 = (x - 2)^2 + (y - 1)^2
Portanto, o denominador simplifica para raiz(x - 2)^2 + (y - 1)^2.

Passo 6

Agora, nossa expressão original para o limite fica:
lim (x, y) (2,1) (x - 2)(y - 1)raiz(x - 2)^2 + (y - 1)^2
Vamos fazer uma mudança de variável para facilitar. Vamos definir u = x - 2 e v = y - 1. Assim, o limite se torna:
lim (u, v) (0,0) u vraizu^2 + v^2

Passo 7

Para calcular esse limite, podemos analisar o comportamento da função perto de (0,0). Note que no numerador temos u v, que cresce mais lentamente que o denominador raizu^2 + v^2.

Passo 8

Usando a desigualdade de valores absolutos, temos:
| u vraizu^2 + v^2 | <= |u||v|raizu^2 + v^2 <= u^2 + v^22 raizu^2 + v^2 = raizu^2 + v^22
À medida que (u, v) (0,0), raizu^2 + v^2 tende a 0, então toda a expressão tende a 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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