Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que calcular o limite de uma função de duas variáveis quando se aproxima de . O conteúdo principal aqui envolve limites de funções de várias variáveis e um pouco de álgebra para simplificar expressões. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão algébrica para facilitar o cálculo do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no numerador da fração: . A ideia é tentar fatorar essa expressão para ver se conseguimos simplificar a fração.
Passo 3
Vamos agrupar os termos que têm e os que têm :
Assim, conseguimos fatorar o numerador como .
Passo 4
Agora, vamos analisar o denominador: . Queremos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.
Passo 5
Vamos completar o quadrado para as variáveis e :
Substituindo de volta na expressão original do denominador:
Portanto, o denominador simplifica para .
Passo 6
Agora, nossa expressão original para o limite fica:
Vamos fazer uma mudança de variável para facilitar. Vamos definir e . Assim, o limite se torna:
Passo 7
Para calcular esse limite, podemos analisar o comportamento da função perto de . Note que no numerador temos , que cresce mais lentamente que o denominador .
Passo 8
Usando a desigualdade de valores absolutos, temos:
À medida que , tende a , então toda a expressão tende a .