Usando substituição de variável, resolva as integrais abaixo :
(g) integral e^x cotg(e^x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de usando substituição de variável. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de substituição para simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos chamar . Isso é útil porque a derivada de é ela mesma, o que simplifica as coisas.

Passo 3

Com dudx = e^x implies du = e^x , dx , derivando ambos os lados em relação a temos:
Agora, podemos substituir por na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, ficamos com:
integral e^x cot(e^x) , dx = integral cot(u) , du
Agora, a integral está em termos de , que é mais fácil de resolver.

Passo 5

Sabemos que a integral de integral cot(u) , du = ln|sin(u)| + C em relação a é , onde é a constante de integração. Então:

Passo 6

Agora, voltamos à variável original ln|sin(u)| + C = ln|sin(e^x)| + C substituindo :

Resposta

A integral é igual a .

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