Dada a função
f(x, y)=rll (x-1)^2(y+1)^2(x-1)^4+(y+1)^2 & se & (x, y) neq(1,-1) L & se & (x, y)=(1,-1)
para qual valor de L f é contínua em (1,-1) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de duas variáveis, , definida de uma maneira diferente no ponto . A gente precisa encontrar o valor de que faz a função ser contínua nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e verificar se o limite de quando se aproxima de existe e é igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma mais simples. Vamos fazer uma mudança de variável para facilitar a análise do limite. Definimos:
u = x - 1 e v = y + 1
Assim, quando f(u, v) = u^2 v^2u^4 + v^2 , temos . A função fica:
Agora precisamos calcular o limite de quando .

Passo 3

Para encontrar esse limite, vamos usar coordenadas polares, que facilitam a análise quando várias variáveis tendem a zero simultaneamente. Definimos:
u = r cos theta e v = r sin theta
onde é a distância até a origem e é o ângulo. Quando , temos .

Passo 4

Vamos substituir f(r, theta) = (r cos theta)^2 (r sin theta)^2(r cos theta)^4 + (r sin theta)^2 e f(r, theta) = r^4 cos^2 theta sin^2 thetar^4 cos^4 theta + r^2 sin^2 theta na função :
Simplificando o numerador e o denominador:

Passo 5

Vamos fatorar f(r, theta) = r^4 cos^2 theta sin^2 thetar^2 ( r^2 cos^4 theta + sin^2 theta ) = r^2 cos^2 theta sin^2 thetar^2 cos^4 theta + sin^2 theta no denominador:
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando .

Passo 6

Quando f(r, theta) approx r^2 cos^2 theta sin^2 thetasin^2 theta = r^2 cos^2 theta , o termo no denominador se torna muito pequeno comparado com . Então, o denominador fica aproximadamente . Assim, a função simplifica para:

Passo 7

Agora, vemos que lim(u, v) to (0, 0) f(u, v) = 0 . Quando , , independentemente do valor de . Portanto:

Resposta

O valor de que torna contínua em é .

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