Dada a função
para qual valor de
é contínua em
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de duas variáveis,
, definida de uma maneira diferente no ponto
. A gente precisa encontrar o valor de
que faz a função ser contínua nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e verificar se o limite de
quando
se aproxima de
existe e é igual a
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma mais simples. Vamos fazer uma mudança de variável para facilitar a análise do limite. Definimos:
Assim, quando
, temos
. A função
fica:
Agora precisamos calcular o limite de
quando
.
Passo 3
Para encontrar esse limite, vamos usar coordenadas polares, que facilitam a análise quando várias variáveis tendem a zero simultaneamente. Definimos:
onde
é a distância até a origem e
é o ângulo. Quando
, temos
.
Passo 4
Vamos substituir
e
na função
:
Simplificando o numerador e o denominador:
Passo 5
Vamos fatorar
no denominador:
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando
.
Passo 6
Quando
, o termo
no denominador se torna muito pequeno comparado com
. Então, o denominador fica aproximadamente
. Assim, a função simplifica para:
Passo 7
Agora, vemos que
. Quando
,
, independentemente do valor de
. Portanto:
Resposta
O valor de
que torna
contínua em
é
.
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(a)
Determine a curvatura de
.
Calcule
.
(Bônus) Seja
dada por
. Sendo
a reta tangente à curva dada em um ponto
, considere o ponto
em que
intercepta o ponto
. Mostre que
, e que tais plano descrevem a parábola definida por
e
.