Dada a função
para qual valor de é contínua em ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de duas variáveis, , definida de uma maneira diferente no ponto . A gente precisa encontrar o valor de que faz a função ser contínua nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e verificar se o limite de quando se aproxima de existe e é igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma mais simples. Vamos fazer uma mudança de variável para facilitar a análise do limite. Definimos:
Assim, quando , temos . A função fica:
Agora precisamos calcular o limite de quando .

Passo 3

Para encontrar esse limite, vamos usar coordenadas polares, que facilitam a análise quando várias variáveis tendem a zero simultaneamente. Definimos:
onde é a distância até a origem e é o ângulo. Quando , temos .

Passo 4

Vamos substituir e na função :
Simplificando o numerador e o denominador:

Passo 5

Vamos fatorar no denominador:
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando .

Passo 6

Quando , o termo no denominador se torna muito pequeno comparado com . Então, o denominador fica aproximadamente . Assim, a função simplifica para:

Passo 7

Agora, vemos que . Quando , , independentemente do valor de . Portanto:

Resposta

O valor de que torna contínua em é .

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(d)
6
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(a)
Determine a curvatura de .
Calcule .
(Bônus) Seja dada por . Sendo a reta tangente à curva dada em um ponto , considere o ponto em que intercepta o ponto . Mostre que , e que tais plano descrevem a parábola definida por e .