(Bônus - 1,5) Utilizando o método de variação dos parâmetros determine a solução geral para a EDO expressa por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de quarta ordem que é assim:
. O que a gente vai precisar aqui é entender o método de variação dos parâmetros, que serve para encontrar uma solução geral da equação, juntando a solução homogênea com uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é igual a zero:
Para resolver isso, a gente procura os valores característicos substituindo
na equação, o que nos dá a equação característica:
Notamos que esse polinômio é um quarto grau e parece ser um caso especial. De fato, ele pode ser fatorado como
, então a única raiz é
com multiplicidade 4.
Passo 3
Com a raiz
de multiplicidade 4, a solução geral homogênea fica:
Aqui,
são constantes que a gente determina com as condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa usando o método de variação dos parâmetros. A parte que está do lado direito da equação é
, que já está na forma de uma função exponencial multiplicada por um polinômio.
Como
já é solução da homogênea com multiplicidade 4, a gente precisa multiplicar por
para garantir que nossa solução particular não faça parte da solução homogênea. Então, assumimos uma solução particular da forma:
Onde
são constantes que a gente precisa determinar substituindo
na equação original e igualando os coeficientes.
Passo 5
Depois de encontrar
substituindo na equação e resolvendo para as constantes
, a solução geral da equação diferencial será a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral
numa integral de linha e calcule. Dado
a superfície
e
, sendo
a normal com componente
(2,5pto) cAP 10
Calcule
, sendo
a fronteira de
com normal exterior
, sendo
e
e
pto)