(Bônus - 1,5) Utilizando o método de variação dos parâmetros determine a solução geral para a EDO expressa por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de quarta ordem que é assim: . O que a gente vai precisar aqui é entender o método de variação dos parâmetros, que serve para encontrar uma solução geral da equação, juntando a solução homogênea com uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é igual a zero:
Para resolver isso, a gente procura os valores característicos substituindo na equação, o que nos dá a equação característica:
Notamos que esse polinômio é um quarto grau e parece ser um caso especial. De fato, ele pode ser fatorado como , então a única raiz é com multiplicidade 4.

Passo 3

Com a raiz de multiplicidade 4, a solução geral homogênea fica:
Aqui, são constantes que a gente determina com as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método de variação dos parâmetros. A parte que está do lado direito da equação é , que já está na forma de uma função exponencial multiplicada por um polinômio.
Como já é solução da homogênea com multiplicidade 4, a gente precisa multiplicar por para garantir que nossa solução particular não faça parte da solução homogênea. Então, assumimos uma solução particular da forma:
Onde são constantes que a gente precisa determinar substituindo na equação original e igualando os coeficientes.

Passo 5

Depois de encontrar substituindo na equação e resolvendo para as constantes , a solução geral da equação diferencial será a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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