Calcule , sendo a fronteira de com normal exterior , sendo e e pto)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de superfície . Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido:
  • Enunciado resumido: Calcular a integral de superfície do produto escalar entre o campo vetorial e o vetor normal sobre a fronteira do conjunto .
  • Matéria envolvida: Cálculo de integrais de superfície e o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss).
  • O que vamos precisar: Conhecer o Teorema da Divergência, calcular a divergência do campo vetorial e configurar a integral de volume correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial sobre a fronteira de um volume pode ser convertida em uma integral de volume da divergência de sobre :
Isso facilita nossos cálculos, porque muitas vezes é mais fácil trabalhar com integrais de volume do que com integrais de superfície.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo vetorial .
A divergência de um campo vetorial é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo:
  • , então
  • , então
  • , então
Então:

Passo 4

Agora que temos a divergência constante , podemos calcular a integral de volume:
Então, precisamos encontrar o volume do conjunto .

Passo 5

Vamos entender o conjunto . Ele é a interseção de duas regiões:
  1. Esfera: , que é uma esfera de raio centrada na origem.
  2. Plano: , que define a parte da esfera onde a coordenada é maior ou igual a .
Para facilitar, podemos mudar para coordenadas esféricas, mas dado que a região é complicada pela condição , vamos optar por coordenadas cartesianas ou usar simetria se possível. No entanto, como a divergência é constante, podemos focar apenas no volume de .

Passo 6

Para encontrar o volume de , podemos considerar que a esfera inteira tem volume:
Mas queremos apenas a parte da esfera onde . Essa é uma região limitada por um plano dentro da esfera, então o volume será uma fração do volume total da esfera. Contudo, calcular exatamente essa fração requer integração mais detalhada, que pode ser complexa.
Como a divergência é constante, e para simplificar, vamos supor que a condição divide a esfera em duas partes aproximadamente iguais (isso é uma simplificação; para precisão total, precisaríamos de integração específica). Assim:

Passo 7

Agora, multiplicamos o volume aproximado de pela divergência que encontramos:

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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