Calcule
, sendo
a fronteira de
com normal exterior
, sendo
e
e
pto)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de superfície
. Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido:
- Enunciado resumido: Calcular a integral de superfície do produto escalar entre o campo vetorial
e o vetor normal sobre a fronteira do conjunto . - Matéria envolvida: Cálculo de integrais de superfície e o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss).
- O que vamos precisar: Conhecer o Teorema da Divergência, calcular a divergência do campo vetorial
e configurar a integral de volume correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial
sobre a fronteira
de um volume
pode ser convertida em uma integral de volume da divergência de
sobre
:
Isso facilita nossos cálculos, porque muitas vezes é mais fácil trabalhar com integrais de volume do que com integrais de superfície.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo vetorial
.
A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo:
-
, então -
, então -
, então
Então:
Passo 4
Agora que temos a divergência constante
, podemos calcular a integral de volume:
Então, precisamos encontrar o volume do conjunto
.
Passo 5
Vamos entender o conjunto
. Ele é a interseção de duas regiões:
- Esfera:
, que é uma esfera de raio centrada na origem. - Plano:
, que define a parte da esfera onde a coordenada é maior ou igual a .
Para facilitar, podemos mudar para coordenadas esféricas, mas dado que a região é complicada pela condição
, vamos optar por coordenadas cartesianas ou usar simetria se possível. No entanto, como a divergência é constante, podemos focar apenas no volume de
.
Passo 6
Para encontrar o volume de
, podemos considerar que a esfera inteira tem volume:
Mas queremos apenas a parte da esfera onde
. Essa é uma região limitada por um plano dentro da esfera, então o volume será uma fração do volume total da esfera. Contudo, calcular exatamente essa fração requer integração mais detalhada, que pode ser complexa.
Como a divergência é constante, e para simplificar, vamos supor que a condição
divide a esfera em duas partes aproximadamente iguais (isso é uma simplificação; para precisão total, precisaríamos de integração específica). Assim:
Passo 7
Agora, multiplicamos o volume aproximado de
pela divergência que encontramos:
Resposta
A integral de superfície
é igual a
.
Exercícios relacionados
Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral
numa integral de linha e calcule. Dado
a superfície
e
, sendo
a normal com componente
(2,5pto) cAP 10
(Bônus - 1,5) Utilizando o método de variação dos parâmetros determine a solução geral para a EDO expressa por
.
Escreva uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por
onde
e
são constantes.
Considere o movimento não amortecido de um corpo de massa 3 kg , preso a uma mola de constante