Determine os intervalos nos quais existem, com certeza, soluções para a equação diferencial
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Nosso objetivo é determinar os intervalos de
nos quais podemos garantir que existem soluções para essa equação diferencial, partindo do ponto inicial
. Para isso, vamos precisar entender sobre existência e unicidade de soluções em equações diferenciais, além de analisar os coeficientes da equação para verificar onde eles são contínuos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma a isolar
. Fazendo isso, temos:
Aqui, dividimos todos os termos por
para deixar
sozinho.
Passo 3
Agora, para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade (ou Teorema de Picard-Lindelöf), precisamos que os coeficientes da equação sejam contínuos no intervalo considerado. Ou seja, as funções que estão multiplicando
,
, e
, assim como o termo independente, devem ser contínuas nesse intervalo.
Passo 4
Vamos analisar cada coeficiente:
-
: Esta função é contínua para todo exceto , onde o denominador se anula. -
: Aqui, está definido apenas para e o denominador novamente causa uma descontinuidade em . -
: Este termo é contínuo para todo exceto e , onde o denominador se anula.
Passo 5
Além disso, o ponto inicial dado é
. Precisamos considerar os intervalos que incluem esse ponto e onde todos os coeficientes são contínuos.
Analisando as descontinuidades:
-
: não está definido para . -
: Descontinuidade nos coeficientes. -
: Descontinuidade no termo independente.
Portanto, os intervalos possíveis que contêm
e não incluem os pontos de descontinuidade são:
Passo 6
Como nosso ponto inicial é
, que está no intervalo
, e todos os coeficientes são contínuos nesse intervalo (exceto em pontos que não pertencem a ele), podemos concluir que existe uma solução única para a equação diferencial nesse intervalo.
Resposta
Existem soluções garantidas para a equação diferencial no intervalo
.
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.
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e
, sendo
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(2,5pto) cAP 10