Determine os intervalos nos quais existem, com certeza, soluções para a equação diferencial

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Nosso objetivo é determinar os intervalos de nos quais podemos garantir que existem soluções para essa equação diferencial, partindo do ponto inicial . Para isso, vamos precisar entender sobre existência e unicidade de soluções em equações diferenciais, além de analisar os coeficientes da equação para verificar onde eles são contínuos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma a isolar . Fazendo isso, temos:
Aqui, dividimos todos os termos por para deixar sozinho.

Passo 3

Agora, para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade (ou Teorema de Picard-Lindelöf), precisamos que os coeficientes da equação sejam contínuos no intervalo considerado. Ou seja, as funções que estão multiplicando , , e , assim como o termo independente, devem ser contínuas nesse intervalo.

Passo 4

Vamos analisar cada coeficiente:
  1. : Esta função é contínua para todo exceto , onde o denominador se anula.
  2. : Aqui, está definido apenas para e o denominador novamente causa uma descontinuidade em .
  3. : Este termo é contínuo para todo exceto e , onde o denominador se anula.

Passo 5

Além disso, o ponto inicial dado é . Precisamos considerar os intervalos que incluem esse ponto e onde todos os coeficientes são contínuos.
Analisando as descontinuidades:
  • : não está definido para .
  • : Descontinuidade nos coeficientes.
  • : Descontinuidade no termo independente.
Portanto, os intervalos possíveis que contêm e não incluem os pontos de descontinuidade são:

Passo 6

Como nosso ponto inicial é , que está no intervalo , e todos os coeficientes são contínuos nesse intervalo (exceto em pontos que não pertencem a ele), podemos concluir que existe uma solução única para a equação diferencial nesse intervalo.

Resposta

Existem soluções garantidas para a equação diferencial no intervalo .

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.
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