Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral numa integral de linha e calcule. Dado a superfície e , sendo a normal com componente (2,5pto) cAP 10
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para usar o Teorema de Stokes para transformar uma integral de superfície numa integral de linha e depois calcular isso. A função vetorial é . A superfície é definida pelo cilindro , com e . A normal tem componente . Para resolver, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o contorno da superfície e depois fazer a integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral da rotacional de sobre uma superfície com a integral de ao longo da borda dessa superfície. A fórmula é:
Então, nossa estratégia é encontrar a curva que delimita , parametrizá-la e calcular a integral de linha .
Passo 3
Vamos identificar o contorno da superfície . A superfície é o lado esquerdo do cilindro entre e . Então, o contorno será composto por duas curvas:
A base inferior no plano , que é o círculo com .
A base superior no plano , que é o mesmo círculo com .
Contudo, como a superfície é apenas a parte lateral do cilindro (não inclui as bases), o contorno será a diferença entre essas duas curvas.
Passo 4
Vamos parametrizar a curva . Como estamos no lado esquerdo do cilindro , podemos usar coordenadas polares para facilitar. Vamos considerar o ângulo variando de a para cobrir a parte esquerda.
Para a base inferior ():
Para a base superior ():
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de linha . Isso significa que precisamos integrar ao longo da curva , que é a diferença entre e .
Primeiro, calculamos a derivada de em relação a :
Agora, substituímos na parametrização:
A integral de linha fica:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão da integral:
Agora, vamos calcular cada parte separadamente.
Para :
Para :
Passo 7
Agora, avaliamos as integrais nos limites a .
Primeiro, para :
Para :
Passo 8
Juntando os resultados das duas integrais:
ointpartial sigma F cdot dr = -pi2 + 43 = 43 - pi2
Resposta
A integral de superfície 43 - pi2 transformada em integral de linha e calculada resulta em: