Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral integral duplasigma nabla times F cdot n d S numa integral de linha e calcule. Dado F(x, y, z)=y i+x^2 j+z k, sigma a superfície x^2+y^2=1,0 <= z <= 1 e x <= 0, sendo n a normal com componente x <= 0 (2,5pto) cAP 10

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para usar o Teorema de Stokes para transformar uma integral de superfície numa integral de linha e depois calcular isso. A função vetorial é . A superfície é definida pelo cilindro , com e . A normal tem componente . Para resolver, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o contorno da superfície e depois fazer a integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral da rotacional de integral duplasigma (nabla times F) cdot n, dS = ointpartial sigma F cdot dr sobre uma superfície com a integral de ao longo da borda dessa superfície. A fórmula é:
Então, nossa estratégia é encontrar a curva que delimita , parametrizá-la e calcular a integral de linha .

Passo 3

Vamos identificar o contorno da superfície . A superfície é o lado esquerdo do cilindro entre e . Então, o contorno será composto por duas curvas:
  1. A base inferior no plano , que é o círculo com .
  2. A base superior no plano , que é o mesmo círculo com .
Contudo, como a superfície é apenas a parte lateral do cilindro (não inclui as bases), o contorno será a diferença entre essas duas curvas.

Passo 4

Vamos parametrizar a curva r1(theta) = (cos theta),i + (sin theta),j + 0,k . Como estamos no lado esquerdo do cilindro r2(theta) = (cos theta),i + (sin theta),j + 1,k , podemos usar coordenadas polares para facilitar. Vamos considerar o ângulo variando de a para cobrir a parte esquerda.
Para a base inferior ( ):
Para a base superior ( ):

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de linha dr2dtheta = -sin theta,i + cos theta,j + 0,k . Isso significa que precisamos integrar F(r2(theta)) = y,i + x^2,j + z,k = sin theta,i + cos^2 theta,j + 1,k ao longo da curva ointpartial sigma F cdot dr = integralpi2^3pi2 (sin theta)(-sin theta) + (cos^2 theta)(cos theta) + (1)(0), dtheta , que é a diferença entre e .
Primeiro, calculamos a derivada de em relação a :
Agora, substituímos na parametrização:
A integral de linha fica:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão da integral:
ointpartial sigma F cdot dr = integralpi2^3pi2 (-sin^2 theta + cos^3 theta), dtheta
Agora, vamos calcular cada parte separadamente.
Para integral -sin^2 theta, dtheta = -theta2 + sin 2theta4 :
integral cos^3 theta, dtheta = cos^2 theta sin theta3 + 23 integral cos theta, dtheta = cos^2 theta sin theta3 + 23 sin theta
Para :

Passo 7

Agora, avaliamos as integrais nos limites -theta2 + sin 2theta4 gr|pi2^3pi2 = -3pi4 + sin 3pi4 - (-pi4 + sin pi4) = -3pi4 - (-pi4) = -pi2 a (cos^2 theta sin theta3 + 23 sin theta) gr|pi2^3pi2 = (0 + 2 cdot 1 cdot 13) - (0 + 2 cdot (-1) cdot 13) = 23 - (-23) = 43 .
Primeiro, para :
Para :

Passo 8

Juntando os resultados das duas integrais:
ointpartial sigma F cdot dr = -pi2 + 43 = 43 - pi2

Resposta

A integral de superfície 43 - pi2 transformada em integral de linha e calculada resulta em:

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