Um botânico descobre que certo tipo de árvore cresce de tal forma que a altura
após
anos está variando a uma taxa de
metros por ano. Se a árvore tinha 60 cm de altura quando foi plantada, que altura terá após 27 anos?
Passo 1
Vamos analisar o problema: um botânico descobriu que a altura de uma árvore após
anos cresce a uma taxa de:
Sabemos que a árvore tinha 60 cm (ou 0,6 metros) quando foi plantada. Queremos descobrir qual será a altura da árvore depois de 27 anos. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função da taxa de variação da altura para encontrar a altura total após 27 anos.
Passo 2
Primeiro, entendemos que
é a derivada da altura em relação ao tempo, ou seja, a velocidade de crescimento da árvore. Para encontrar a altura total após 27 anos, precisamos integrar essa taxa desde o tempo inicial (0 anos) até 27 anos.
Passo 3
Vamos calcular a integral de
de 0 a 27:
Aqui,
metros é a altura inicial da árvore.
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, avaliaremos as integrais de 0 a 27:
Substituindo
e
:
Como qualquer número elevado a 0 é 0, os termos com
desaparecem.
Passo 6
Calculando
e
:
-
então -
então
Passo 7
Substituindo os valores:
Passo 8
Finalmente, somamos a altura inicial:
Resposta
Após 27 anos, a árvore terá aproximadamente 37,41 metros de altura.
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