Um botânico descobre que certo tipo de árvore cresce de tal forma que a altura h(t) após t anos está variando a uma taxa de
h'(t) = 0.06 t^(2/3) + 0.3 t^(1/2)
metros por ano. Se a árvore tinha 60 cm de altura quando foi plantada, que altura terá após 27 anos?

Passo 1

Vamos analisar o problema: um botânico descobriu que a altura de uma árvore após t anos cresce a uma taxa de:
Sabemos que a árvore tinha 60 cm (ou 0,6 metros) quando foi plantada. Queremos descobrir qual será a altura da árvore depois de 27 anos. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função da taxa de variação da altura para encontrar a altura total após 27 anos.

Passo 2

Primeiro, entendemos que é a derivada da altura em relação ao tempo, ou seja, a velocidade de crescimento da árvore. Para encontrar a altura total após 27 anos, precisamos integrar essa taxa desde o tempo inicial (0 anos) até 27 anos.

Passo 3

Vamos calcular a integral de de 0 a 27:
Aqui, metros é a altura inicial da árvore.

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora, avaliaremos as integrais de 0 a 27:
Substituindo e :
Como qualquer número elevado a 0 é 0, os termos com t = 0 desaparecem.

Passo 6

Calculando e :
  • então
  • então

Passo 7

Substituindo os valores:

Passo 8

Finalmente, somamos a altura inicial:

Resposta

Após 27 anos, a árvore terá aproximadamente 37,41 metros de altura.

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