O movimento mensal de vendas de uma importadora é, atualmente, R, mas deverá estar diminuindo a uma taxa de
mas deverá estar diminuindo a uma taxa de
reais por mês daqui a S'(t) = -10 t^(2/5) meses. O negócio deixará de ser lucrativo se o movimento mensal cair abaixo de reais por mês daqui a.
c. Durante quantos meses o negócio continuará a ser lucrativo?

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos o movimento mensal de vendas de uma importadora que atualmente é de R$10.000,00. Esse valor está diminuindo a uma taxa de reais por mês após meses. O negócio deixa de ser lucrativo quando as vendas caem abaixo de R$8.000,00. Nosso objetivo é descobrir durante quantos meses o negócio continuará a ser lucrativo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que representa a taxa de variação das vendas ao longo do tempo. Para encontrar a função que nos dá as vendas em qualquer mês , vamos integrar .

Passo 3

A integral de em relação a nos dará a função :

Passo 4

Vamos calcular a integral:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Sabemos que no tempo , as vendas são reais. Vamos usar essa condição para encontrar :
Como , temos .

Passo 6

Agora, a função que descreve as vendas ao longo do tempo é:

Passo 7

Queremos saber quando as vendas caem para R$8.000,00. Então, vamos resolver a equação :

Passo 8

Subtraindo 10.000 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Isolando :

Passo 10

Para encontrar , vamos elevar ambos os lados da equação à potência de :

Passo 11

Calculando :

Resposta

O negócio continuará a ser lucrativo por aproximadamente 28 meses.

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