O movimento mensal de vendas de uma importadora é, atualmente,
, mas deverá estar diminuindo a uma taxa de
reais por mês daqui a
meses. O negócio deixará de ser lucrativo se o movimento mensal cair abaixo de
.
c. Durante quantos meses o negócio continuará a ser lucrativo?
c. Durante quantos meses o negócio continuará a ser lucrativo?
Passo 1
Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos o movimento mensal de vendas de uma importadora que atualmente é de R$10.000,00. Esse valor está diminuindo a uma taxa de
reais por mês após
meses. O negócio deixa de ser lucrativo quando as vendas caem abaixo de R$8.000,00. Nosso objetivo é descobrir durante quantos meses o negócio continuará a ser lucrativo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que
representa a taxa de variação das vendas ao longo do tempo. Para encontrar a função
que nos dá as vendas em qualquer mês
, vamos integrar
.
Passo 3
A integral de
em relação a
nos dará a função
:
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Sabemos que no tempo
, as vendas são
reais. Vamos usar essa condição para encontrar
:
Como
, temos
.
Passo 6
Agora, a função que descreve as vendas ao longo do tempo é:
Passo 7
Queremos saber quando as vendas caem para R$8.000,00. Então, vamos resolver a equação
:
Passo 8
Subtraindo 10.000 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Isolando
:
Passo 10
Para encontrar
, vamos elevar ambos os lados da equação à potência de
:
Passo 11
Calculando
:
Resposta
O negócio continuará a ser lucrativo por aproximadamente 28 meses.
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