Estima-se que, daqui t meses, a população de certa cidade estará aumentando à taxa de 4 + 5 t^(2 / 3) habitantes por mês. Se a população atual é de 10.000 habitantes, qual será a população daqui oito meses?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como a população de uma cidade está aumentando ao longo do tempo. A taxa de crescimento da população daqui meses é dada por habitantes por mês. Atualmente, a cidade tem 10.000 habitantes, e queremos saber qual será a população daqui a oito meses. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente integração, para encontrar o total de habitantes adicionados nesse período.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a taxa de crescimento nos diz quantos habitantes estão sendo adicionados por mês em qualquer momento . Para encontrar o total de habitantes adicionados em oito meses, vamos integrar essa taxa de crescimento de até .

Passo 3

A integral que representa o total de habitantes adicionados é:
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, separamos a integral em duas partes:

Passo 4

Resolvendo a primeira integral:

Passo 5

Agora, resolvendo a segunda integral:
Calculando quando :
Portanto:

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas integrais para encontrar o total de habitantes adicionados:

Passo 7

Finalmente, adicionamos esse aumento à população inicial de 10.000 habitantes:

Resposta

A população daqui a oito meses será de 10.128 habitantes.

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