Estima-se que, daqui meses, a população de certa cidade estará aumentando à taxa de habitantes por mês. Se a população atual é de 10.000 habitantes, qual será a população daqui oito meses?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como a população de uma cidade está aumentando ao longo do tempo. A taxa de crescimento da população daqui meses é dada por habitantes por mês. Atualmente, a cidade tem 10.000 habitantes, e queremos saber qual será a população daqui a oito meses. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente integração, para encontrar o total de habitantes adicionados nesse período.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a taxa de crescimento nos diz quantos habitantes estão sendo adicionados por mês em qualquer momento . Para encontrar o total de habitantes adicionados em oito meses, vamos integrar essa taxa de crescimento de até .
Passo 3
A integral que representa o total de habitantes adicionados é:
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, separamos a integral em duas partes:
Passo 4
Resolvendo a primeira integral:
Passo 5
Agora, resolvendo a segunda integral:
Calculando quando :
Portanto:
Passo 6
Agora, somamos os resultados das duas integrais para encontrar o total de habitantes adicionados:
Passo 7
Finalmente, adicionamos esse aumento à população inicial de 10.000 habitantes:
Resposta
A população daqui a oito meses será de 10.128 habitantes.