Um botânico está estudando o crescimento de determinada espécie de planta ao longo de seis meses. Ele registrou a altura das plantas (em centímetros) no final de cada mês, conforme mostrado na tabela abaixo:
Mês Altura (em cm)
1 10
2 22
3 37
4 55
5 76
6 100
Use o método dos mínimos quadrados para ajustar um polinômio de segundo grau da forma |c|c| hline Mês & A aos dados de crescimento da planta. Com base no polinômio ajustado, estime a altura da planta no final do y=a x^2+b x+c mês.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o crescimento de plantas ao longo de seis meses e pede para ajustarmos um polinômio de segundo grau usando o método dos mínimos quadrados. Isso faz parte da matéria de Regressão Quadrática ou Ajuste de Curvas. Para isso, vamos precisar calcular algumas somas e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes do polinômio .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
|c|c| hline Mês (x) & Aê

Passo 3

Agora, vamos calcular as somas necessárias para montar o sistema de equações. Precisamos de:
sum x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
sum x^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 91
sum x^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 = 441
sum x^4 = 1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4 + 5^4 + 6^4 = 2275
sum y = 10 + 22 + 37 + 55 + 76 + 100 = 300
sum x y = (1)(10) + (2)(22) + (3)(37) + (4)(55) + (5)(76) + (6)(100) = 10 + 44 + 111 + 220 + 380 + 600 = 1365
sum x^2 y = (1^2)(10) + (2^2)(22) + (3^2)(37) + (4^2)(55) + (5^2)(76) + (6^2)(100) = 10 + 88 + 333 + 880 + 1900 + 3600 = 6821

Passo 4

Com essas somas, podemos montar o sistema de equações usando o método dos mínimos quadrados:
a sum x^4 + b sum x^3 + c sum x^2 = sum x^2 y a sum x^3 + b sum x^2 + c sum x = sum x y a sum x^2 + b sum x + c n = sum y
Onde a(2275) + b(441) + c(91) = 6821 a(441) + b(91) + c(21) = 1365 a(91) + b(21) + c(6) = 300 é o número de pontos, que nesse caso é 6. Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou optar pela eliminação para facilitar.
Primeiro, multiplicamos a terceira equação por 441 (para eliminar 441a + 21b + 6c = 300 times 441 = 132300 quando subtrairmos da primeira equação):
91a + 21b + 6c = 300 (Equação 3)
Mas isso pode ficar muito grande, então vamos optar por outro método. Uma abordagem mais simples é usar matrizes ou cálculo direto, mas vou simplificar aqui.
Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da terceira equação:
6c = 300 - 91a - 21b c = 300 - 91a - 21b6 çã
Podemos isolar 441a + 91b + 21 ( 300 - 91a - 21b6 ) = 1365 :
441a + 91b + 6300 - 1911a - 441b6 = 1365
  1. Substituímos 6(441a) + 6(91b) + 6300 - 1911a - 441b = 8190 2646a + 546b + 6300 - 1911a - 441b = 8190 (2646a - 1911a) + (546b - 441b) + 6300 = 8190 735a + 105b = 1890 na segunda equação:
7a + b = 18 (Equação 4)
Simplificando:
2275a + 441b + 91 ( 300 - 91a - 21b6 ) = 6821
Multiplicando todos os termos por 6 para eliminar o denominador:
2275a + 441b + 27300 - 8281a - 1911b6 = 6821
Dividindo por 105:
6(2275a) + 6(441b) + 27300 - 8281a - 1911b = 40926 13650a + 2646b + 27300 - 8281a - 1911b = 40926 (13650a - 8281a) + (2646b - 1911b) + 27300 = 40926 5369a + 735b = 13626 çã
  1. Agora, substituímos 767a + 105b = 1946 na primeira equação:
7a + b = 18 (Equação 4) 767a + 105b = 1946 (Equação 5)
Simplificando:
b = 18 - 7a
Multiplicando todos os termos por 6:
767a + 105(18 - 7a) = 1946 767a + 1890 - 735a = 1946 32a = 1946 - 1890 32a = 56 a = 5632 = 74 = 1,75
Dividindo por 7:
b = 18 - 7(1,75) = 18 - 12,25 = 5,75
  1. Agora, temos:
c = 300 - 91(1,75) - 21(5,75)6 c = 300 - 159,25 - 120,756 c = 206 = 103 approx 3,33 çãçã
Podemos resolver esse sistema. Da Equação 4, isolamos :
Substituímos na Equação 5:
  1. Agora que temos , encontramos :
  1. Finalmente, encontramos usando a expressão anterior:

Resposta

O polinômio ajustado é y = 1,75(8)^2 + 5,75(8) + 3,33 = 1,75 times 64 + 5,75 times 8 + 3,33 = 112 + 46 + 3,33 = 161,33 cm . Estimando a altura no 8º mês:
Então, a altura estimada da planta no final do 8º mês é 161,33 cm.

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