Um botânico está estudando o crescimento de determinada espécie de planta ao longo de seis meses. Ele registrou a altura das plantas (em centímetros) no final de cada mês, conforme mostrado na tabela abaixo:
Mês
Altura (em cm)
1
10
2
22
3
37
4
55
5
76
6
100
Use o método dos mínimos quadrados para ajustar um polinômio de segundo grau da forma aos dados de crescimento da planta. Com base no polinômio ajustado, estime a altura da planta no final do mês.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o crescimento de plantas ao longo de seis meses e pede para ajustarmos um polinômio de segundo grau usando o método dos mínimos quadrados. Isso faz parte da matéria de Regressão Quadrática ou Ajuste de Curvas. Para isso, vamos precisar calcular algumas somas e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes do polinômio .
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular as somas necessárias para montar o sistema de equações. Precisamos de:
Passo 4
Com essas somas, podemos montar o sistema de equações usando o método dos mínimos quadrados:
Onde a(2275) + b(441) + c(91) = 6821 a(441) + b(91) + c(21) = 1365 a(91) + b(21) + c(6) = 300 é o número de pontos, que nesse caso é 6. Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou optar pela eliminação para facilitar.
Primeiro, multiplicamos a terceira equação por 441 (para eliminar 441a + 21b + 6c = 300 times 441 = 132300 quando subtrairmos da primeira equação):
91a + 21b + 6c = 300 (Equação 3)
Mas isso pode ficar muito grande, então vamos optar por outro método. Uma abordagem mais simples é usar matrizes ou cálculo direto, mas vou simplificar aqui.
c = 300 - 91(1,75) - 21(5,75)6 c = 300 - 159,25 - 120,756 c = 206 = 103 approx 3,33 çãçã
Podemos resolver esse sistema. Da Equação 4, isolamos :
Substituímos na Equação 5:
Agora que temos , encontramos :
Finalmente, encontramos usando a expressão anterior:
Resposta
O polinômio ajustado é y = 1,75(8)^2 + 5,75(8) + 3,33 = 1,75 times 64 + 5,75 times 8 + 3,33 = 112 + 46 + 3,33 = 161,33 cm . Estimando a altura no 8º mês:
Então, a altura estimada da planta no final do 8º mês é 161,33 cm.