Um botânico está estudando o crescimento de determinada espécie de planta ao longo de seis meses. Ele registrou a altura das plantas (em centímetros) no final de cada mês, conforme mostrado na tabela abaixo:
Mês Altura (em cm)
1 10
2 22
3 37
4 55
5 76
6 100
Use o método dos mínimos quadrados para ajustar um polinômio de segundo grau da forma aos dados de crescimento da planta. Com base no polinômio ajustado, estime a altura da planta no final do mês.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o crescimento de plantas ao longo de seis meses e pede para ajustarmos um polinômio de segundo grau usando o método dos mínimos quadrados. Isso faz parte da matéria de Regressão Quadrática ou Ajuste de Curvas. Para isso, vamos precisar calcular algumas somas e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes do polinômio .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
ê

Passo 3

Agora, vamos calcular as somas necessárias para montar o sistema de equações. Precisamos de:

Passo 4

Com essas somas, podemos montar o sistema de equações usando o método dos mínimos quadrados:
Onde é o número de pontos, que nesse caso é 6. Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou optar pela eliminação para facilitar.
Primeiro, multiplicamos a terceira equação por 441 (para eliminar quando subtrairmos da primeira equação):
Mas isso pode ficar muito grande, então vamos optar por outro método. Uma abordagem mais simples é usar matrizes ou cálculo direto, mas vou simplificar aqui.
Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da terceira equação:
çã
Podemos isolar :
  1. Substituímos na segunda equação:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 6 para eliminar o denominador:
Dividindo por 105:
çã
  1. Agora, substituímos na primeira equação:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 6:
Dividindo por 7:
  1. Agora, temos:
çãçã
Podemos resolver esse sistema. Da Equação 4, isolamos :
Substituímos na Equação 5:
  1. Agora que temos , encontramos :
  1. Finalmente, encontramos usando a expressão anterior:

Resposta

O polinômio ajustado é . Estimando a altura no 8º mês:
Então, a altura estimada da planta no final do 8º mês é 161,33 cm.

Exercícios relacionados

Dado o conjunto de pontos , onde:
Use o método de interpolação de Lagrange para determinar o polinômio de interpolação que passa por esses pontos. Em seguida, utilize o polinômio encontrado para calcular o valor aproximado de .
Considere o polinômio .
b) Calcule todas as raízes do polinômio através dos Métodos de Birge-Vieta e NewtonRaphson. Considere e 6 casas decimais.
Um município está monitorando o crescimento populacional ao longo dos últimos quinquênios. A tabela abaixo mostra a população registrada em três anos distintos:
Ano População
2010 10.000
2015 12.500
2020 15.000
Utilize a interpolação polinomial para estimar a população projetada para o ano de 2018. O polinômio encontrado é adequado para estimar a população dessa cidade no ano que vem (2025)? Justifique.
Considere o sistema de equações lineares
a) Resolva o sistema pelo Método de Eliminação de Gauss;