Um botânico está estudando o crescimento de determinada espécie de planta ao longo de seis meses. Ele registrou a altura das plantas (em centímetros) no final de cada mês, conforme mostrado na tabela abaixo:
Mês
Altura (em cm)
1
10
2
22
3
37
4
55
5
76
6
100
Use o método dos mínimos quadrados para ajustar um polinômio de segundo grau da forma aos dados de crescimento da planta. Com base no polinômio ajustado, estime a altura da planta no final do mês.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o crescimento de plantas ao longo de seis meses e pede para ajustarmos um polinômio de segundo grau usando o método dos mínimos quadrados. Isso faz parte da matéria de Regressão Quadrática ou Ajuste de Curvas. Para isso, vamos precisar calcular algumas somas e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes do polinômio .
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular as somas necessárias para montar o sistema de equações. Precisamos de:
Passo 4
Com essas somas, podemos montar o sistema de equações usando o método dos mínimos quadrados:
Onde é o número de pontos, que nesse caso é 6. Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou optar pela eliminação para facilitar.
Primeiro, multiplicamos a terceira equação por 441 (para eliminar quando subtrairmos da primeira equação):
Mas isso pode ficar muito grande, então vamos optar por outro método. Uma abordagem mais simples é usar matrizes ou cálculo direto, mas vou simplificar aqui.
Vamos resolver o sistema passo a passo:
Da terceira equação:
çã
Podemos isolar :
Substituímos na segunda equação:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 6 para eliminar o denominador:
Dividindo por 105:
çã
Agora, substituímos na primeira equação:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 6:
Dividindo por 7:
Agora, temos:
çãçã
Podemos resolver esse sistema. Da Equação 4, isolamos :
Substituímos na Equação 5:
Agora que temos , encontramos :
Finalmente, encontramos usando a expressão anterior:
Resposta
O polinômio ajustado é . Estimando a altura no 8º mês:
Então, a altura estimada da planta no final do 8º mês é 161,33 cm.