Dado o conjunto de pontos
, onde:
Use o método de interpolação de Lagrange para determinar o polinômio de interpolação
que passa por esses pontos. Em seguida, utilize o polinômio encontrado para calcular o valor aproximado de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos quatro pontos no plano:
,
,
e
. O objetivo é encontrar um polinômio de interpolação usando o método de Lagrange que passa por esses pontos. Depois disso, vamos usar esse polinômio para calcular o valor de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a interpolação de Lagrange e como aplicá-la para encontrar o polinômio que ajusta os pontos dados.
Passo 2
Vamos começar explicando o que é o método de interpolação de Lagrange. É uma técnica matemática que permite encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. A fórmula geral do polinômio de Lagrange é:
onde cada
é o polinômio de base de Lagrange dado por:
Neste caso, temos 4 pontos, então
.
Passo 3
Agora, vamos calcular cada um dos polinômios de base
para
.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Com os polinômios de base calculados, vamos montar o polinômio de interpolação
utilizando a fórmula:
Substituindo os valores dos pontos:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Agora, para encontrar o valor de
, provavelmente quis dizer
. Vamos substituir
na expressão simplificada do polinômio. No entanto, para facilitar os cálculos, podemos primeiro expandir o polinômio completamente e depois substituir o valor.
Após expandir e simplificar, obtemos:
Substituindo
:
Calculando cada termo:
Somando todos:
Resposta
O valor aproximado de
é 6,875.