Dado o conjunto de pontos (x0, y0),(x1, y1),(x2, y2),(x3, y3), onde:
l (x0, y0)=(1,2) (x1, y1)=(2,3) (x2, y2)=(3,5) (x3, y3)=(4,4)
Use o método de interpolação de Lagrange para determinar o polinômio de interpolação P(x) que passa por esses pontos. Em seguida, utilize o polinômio encontrado para calcular o valor aproximado de P(2,5).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos quatro pontos no plano: (1,2), (2,3), (3,5) e (4,4). O objetivo é encontrar um polinômio de interpolação usando o método de Lagrange que passa por esses pontos. Depois disso, vamos usar esse polinômio para calcular o valor de P(2,5). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a interpolação de Lagrange e como aplicá-la para encontrar o polinômio que ajusta os pontos dados.

Passo 2

Vamos começar explicando o que é o método de interpolação de Lagrange. É uma técnica matemática que permite encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. A fórmula geral do polinômio de Lagrange é:
P(x) = sumi=0^n yi cdot Li(x)
onde cada Li(x) é o polinômio de base de Lagrange dado por:
Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^n x - xjxi - xj
Neste caso, temos 4 pontos, então n = 3.

Passo 3

Agora, vamos calcular cada um dos polinômios de base Li(x) para i = 0, 1, 2, 3.
Para L0(x):
L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x0 - x1)(x0 - x2)(x0 - x3) = (x - 2)(x - 3)(x - 4)(1 - 2)(1 - 3)(1 - 4) = (x - 2)(x - 3)(x - 4)(-1)(-2)(-3) = -(x - 2)(x - 3)(x - 4)6
Para L1(x):
L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x - x3)(x1 - x0)(x1 - x2)(x1 - x3) = (x - 1)(x - 3)(x - 4)(2 - 1)(2 - 3)(2 - 4) = (x - 1)(x - 3)(x - 4)(1)(-1)(-2) = (x - 1)(x - 3)(x - 4)2
Para L2(x):
L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x3)(x2 - x0)(x2 - x1)(x2 - x3) = (x - 1)(x - 2)(x - 4)(3 - 1)(3 - 2)(3 - 4) = (x - 1)(x - 2)(x - 4)(2)(1)(-1) = -(x - 1)(x - 2)(x - 4)2
Para L3(x):
L3(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x2)(x3 - x0)(x3 - x1)(x3 - x2) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(4 - 1)(4 - 2)(4 - 3) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(3)(2)(1) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)6

Passo 4

Com os polinômios de base calculados, vamos montar o polinômio de interpolação P(x) utilizando a fórmula:
P(x) = y0 cdot L0(x) + y1 cdot L1(x) + y2 cdot L2(x) + y3 cdot L3(x)
Substituindo os valores dos pontos:
P(x) = 2 cdot (-(x - 2)(x - 3)(x - 4)6) + 3 cdot ((x - 1)(x - 3)(x - 4)2) + 5 cdot (-(x - 1)(x - 2)(x - 4)2) + 4 cdot ((x - 1)(x - 2)(x - 3)6)

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
P(x) = -26(x - 2)(x - 3)(x - 4) + 32(x - 1)(x - 3)(x - 4) - 52(x - 1)(x - 2)(x - 4) + 46(x - 1)(x - 2)(x - 3)
Simplificando os coeficientes:
P(x) = -13(x - 2)(x - 3)(x - 4) + 32(x - 1)(x - 3)(x - 4) - 52(x - 1)(x - 2)(x - 4) + 23(x - 1)(x - 2)(x - 3)

Passo 6

Agora, para encontrar o valor de P(2,5), provavelmente quis dizer P(2.5). Vamos substituir x = 2.5 na expressão simplificada do polinômio. No entanto, para facilitar os cálculos, podemos primeiro expandir o polinômio completamente e depois substituir o valor.
Após expandir e simplificar, obtemos:
P(x) = -13x^3 + 3x^2 - 143x + 4
Substituindo x = 2.5:
P(2.5) = -13(2.5)^3 + 3(2.5)^2 - 143(2.5) + 4
Calculando cada termo:
-13(15.625) = -5.2083
3(6.25) = 18.75
-143(2.5) = -11.6667
+ 4
Somando todos:
P(2.5) = -5.2083 + 18.75 - 11.6667 + 4 = 6.875

Resposta

O valor aproximado de P(2,5) é 6,875.

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