Dado o conjunto de pontos , onde:
Use o método de interpolação de Lagrange para determinar o polinômio de interpolação que passa por esses pontos. Em seguida, utilize o polinômio encontrado para calcular o valor aproximado de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos quatro pontos no plano: , , e . O objetivo é encontrar um polinômio de interpolação usando o método de Lagrange que passa por esses pontos. Depois disso, vamos usar esse polinômio para calcular o valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a interpolação de Lagrange e como aplicá-la para encontrar o polinômio que ajusta os pontos dados.

Passo 2

Vamos começar explicando o que é o método de interpolação de Lagrange. É uma técnica matemática que permite encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. A fórmula geral do polinômio de Lagrange é:
onde cada é o polinômio de base de Lagrange dado por:
Neste caso, temos 4 pontos, então .

Passo 3

Agora, vamos calcular cada um dos polinômios de base para .
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Com os polinômios de base calculados, vamos montar o polinômio de interpolação utilizando a fórmula:
Substituindo os valores dos pontos:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
Simplificando os coeficientes:

Passo 6

Agora, para encontrar o valor de , provavelmente quis dizer . Vamos substituir na expressão simplificada do polinômio. No entanto, para facilitar os cálculos, podemos primeiro expandir o polinômio completamente e depois substituir o valor.
Após expandir e simplificar, obtemos:
Substituindo :
Calculando cada termo:
Somando todos:

Resposta

O valor aproximado de é 6,875.

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