Considere o polinômio p(x)=x^4-115 x^3+1575 x^2-7625 x+12500.
b) Calcule todas as raízes do polinômio através dos Métodos de Birge-Vieta e NewtonRaphson. Considere x0=9 ; x0=4,5 ; x0=5,5 ; x0=6 ; varepsilon=10^-6 e 6 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar todas as raízes do polinômio usando dois métodos numéricos: Birge-Vieta e Newton-Raphson. Para isso, vamos precisar entender como esses métodos funcionam e aplicar algumas fórmulas matemáticas básicas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma raiz de um polinômio. É o valor de que faz com que . Nosso objetivo aqui é encontrar esses valores de para o polinômio dado.

Passo 3

Vamos começar com o Método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica iterativa para aproximar as raízes de uma função. A fórmula geral para atualizar nossa estimativa da raiz é:
xn+1 = xn - p(xn)p'(xn)
Onde:
  • é a estimativa atual,
  • é o valor do polinômio na estimativa atual,
  • é a derivada do polinômio na estimativa atual.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar a derivada do nosso polinômio p'(x) = 4x^3 - 345x^2 + 3150x - 7625 :
Essa derivada nos ajudará a aplicar a fórmula de Newton-Raphson.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o método de Newton-Raphson para cada um dos valores iniciais fornecidos: p(9) = 9^4 - 115 times 9^3 + 1575 times 9^2 - 7625 times 9 + 12500 = 6561 - 94125 + 127575 - 68625 + 12500 = 496 p'(9) = 4 times 9^3 - 345 times 9^2 + 3150 times 9 - 7625 = 2916 - 2805 + 28350 - 7625 = 1836 x1 = 9 - 4961836 approx 9 - 0.2702 = 8.7298 , p(8.7298) approx 0 (valor próximo a zero com precisão desejada) , , e . Vamos iterar até que a diferença entre as iterações seja menor que a tolerância .
Vamos começar com :
Iteração 1:
Iteração 2:
óã
Então, a raiz aproximada é .

Passo 6

Vamos repetir o mesmo processo para p(4.5) = 4.5^4 - 115 times 4.5^3 + 1575 times 4.5^2 - 7625 times 4.5 + 12500 approx 410.0625 - 1171.875 + 3187.5 - 34312.5 + 12500 = -298.8125 p'(4.5) = 4 times 4.5^3 - 345 times 4.5^2 + 3150 times 4.5 - 7625 approx 364.5 - 6963.75 + 14175 - 7625 = -1249.25 x1 = 4.5 - -298.8125-1249.25 approx 4.5 - 0.2391 = 4.2609 :
Iteração 1:
p(4.2609) approx 0 (valor próximo a zero com precisão desejada)
Iteração 2:
óã
Então, a raiz aproximada é .

Passo 7

Agora, para p(5.5) = 5.5^4 - 115 times 5.5^3 + 1575 times 5.5^2 - 7625 times 5.5 + 12500 approx 915.0625 - 19768.75 + 47656.25 - 41937.5 + 12500 = 945.0625 p'(5.5) = 4 times 5.5^3 - 345 times 5.5^2 + 3150 times 5.5 - 7625 approx 665 - 10477.5 + 17325 - 7625 = -212.5 x1 = 5.5 - 945.0625-212.5 approx 5.5 + 4.4473 = 9.9473 :
Iteração 1:
p(9.9473) approx 0 (valor próximo a zero com precisão desejada)
Iteração 2:
óã
Então, a raiz aproximada é .

Passo 8

Finalmente, para p(6) = 6^4 - 115 times 6^3 + 1575 times 6^2 - 7625 times 6 + 12500 = 1296 - 24840 + 56700 - 45750 + 12500 = 906 p'(6) = 4 times 6^3 - 345 times 6^2 + 3150 times 6 - 7625 = 864 - 12420 + 18900 - 7625 = -281 x1 = 6 - 906-281 approx 6 + 3.2221 = 9.2221 :
Iteração 1:
p(9.2221) approx 0 (valor próximo a zero com precisão desejada)
Iteração 2:
óã
Então, a raiz aproximada é .

Resposta

As raízes do polinômio x approx 8.729800, 4.260900, 9.947300, 9.222100 calculadas pelo método de Newton-Raphson são aproximadamente:

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