Considere o polinômio
.
b) Calcule todas as raízes do polinômio através dos Métodos de Birge-Vieta e NewtonRaphson. Considere
e 6 casas decimais.
b) Calcule todas as raízes do polinômio através dos Métodos de Birge-Vieta e NewtonRaphson. Considere
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar todas as raízes do polinômio
usando dois métodos numéricos: Birge-Vieta e Newton-Raphson. Para isso, vamos precisar entender como esses métodos funcionam e aplicar algumas fórmulas matemáticas básicas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma raiz de um polinômio. É o valor de
que faz com que
. Nosso objetivo aqui é encontrar esses valores de
para o polinômio dado.
Passo 3
Vamos começar com o Método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica iterativa para aproximar as raízes de uma função. A fórmula geral para atualizar nossa estimativa da raiz é:
Onde:
-
é a estimativa atual, -
é o valor do polinômio na estimativa atual, -
é a derivada do polinômio na estimativa atual.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar a derivada do nosso polinômio
:
Essa derivada nos ajudará a aplicar a fórmula de Newton-Raphson.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o método de Newton-Raphson para cada um dos valores iniciais fornecidos:
,
,
, e
. Vamos iterar até que a diferença entre as iterações seja menor que a tolerância
.
Vamos começar com
:
Iteração 1:
Iteração 2:
Então, a raiz aproximada é
.
Passo 6
Vamos repetir o mesmo processo para
:
Iteração 1:
Iteração 2:
Então, a raiz aproximada é
.
Passo 7
Agora, para
:
Iteração 1:
Iteração 2:
Então, a raiz aproximada é
.
Passo 8
Finalmente, para
:
Iteração 1:
Iteração 2:
Então, a raiz aproximada é
.
Resposta
As raízes do polinômio
calculadas pelo método de Newton-Raphson são aproximadamente: