Considere o polinômio .
b) Calcule todas as raízes do polinômio através dos Métodos de Birge-Vieta e NewtonRaphson. Considere e 6 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar todas as raízes do polinômio usando dois métodos numéricos: Birge-Vieta e Newton-Raphson. Para isso, vamos precisar entender como esses métodos funcionam e aplicar algumas fórmulas matemáticas básicas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma raiz de um polinômio. É o valor de que faz com que . Nosso objetivo aqui é encontrar esses valores de para o polinômio dado.

Passo 3

Vamos começar com o Método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica iterativa para aproximar as raízes de uma função. A fórmula geral para atualizar nossa estimativa da raiz é:
Onde:
  • é a estimativa atual,
  • é o valor do polinômio na estimativa atual,
  • é a derivada do polinômio na estimativa atual.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar a derivada do nosso polinômio :
Essa derivada nos ajudará a aplicar a fórmula de Newton-Raphson.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o método de Newton-Raphson para cada um dos valores iniciais fornecidos: , , , e . Vamos iterar até que a diferença entre as iterações seja menor que a tolerância .
Vamos começar com :
Iteração 1:
Iteração 2:
óã
Então, a raiz aproximada é .

Passo 6

Vamos repetir o mesmo processo para :
Iteração 1:
Iteração 2:
óã
Então, a raiz aproximada é .

Passo 7

Agora, para :
Iteração 1:
Iteração 2:
óã
Então, a raiz aproximada é .

Passo 8

Finalmente, para :
Iteração 1:
Iteração 2:
óã
Então, a raiz aproximada é .

Resposta

As raízes do polinômio calculadas pelo método de Newton-Raphson são aproximadamente:

Exercícios relacionados

Considere o polinômio .
a)Aplique a Regra do Sinal de Descartes e verifique quantas raízes reais positivas e negativas o polinônio possui.
Responder resumidamente:
c) Qual a vantagem de se utilizar o Algoritmo de Horner para se avaliar o valor do polinômio num ponto? Exemplifique.
Dado o conjunto de pontos , onde:
Use o método de interpolação de Lagrange para determinar o polinômio de interpolação que passa por esses pontos. Em seguida, utilize o polinômio encontrado para calcular o valor aproximado de .
Um botânico está estudando o crescimento de determinada espécie de planta ao longo de seis meses. Ele registrou a altura das plantas (em centímetros) no final de cada mês, conforme mostrado na tabela abaixo:
Mês Altura (em cm)
1 10
2 22
3 37
4 55
5 76
6 100
Use o método dos mínimos quadrados para ajustar um polinômio de segundo grau da forma aos dados de crescimento da planta. Com base no polinômio ajustado, estime a altura da planta no final do mês.