Considere o polinômio
.
b) Calcule todas as raízes do polinômio através dos Métodos de Birge-Vieta e NewtonRaphson. Considere
e 6 casas decimais.
b) Calcule todas as raízes do polinômio através dos Métodos de Birge-Vieta e NewtonRaphson. Considere
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar todas as raízes do polinômio
usando dois métodos numéricos: Birge-Vieta e Newton-Raphson. Para isso, vamos precisar entender como esses métodos funcionam e aplicar algumas fórmulas matemáticas básicas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma raiz de um polinômio. É o valor de
que faz com que
. Nosso objetivo aqui é encontrar esses valores de
para o polinômio dado.
Passo 3
Vamos começar com o Método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica iterativa para aproximar as raízes de uma função. A fórmula geral para atualizar nossa estimativa da raiz é:
Onde:
-
é a estimativa atual, -
é o valor do polinômio na estimativa atual, -
é a derivada do polinômio na estimativa atual.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar a derivada do nosso polinômio
:
Essa derivada nos ajudará a aplicar a fórmula de Newton-Raphson.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o método de Newton-Raphson para cada um dos valores iniciais fornecidos:
,
,
, e
. Vamos iterar até que a diferença entre as iterações seja menor que a tolerância
.
Vamos começar com
:
Iteração 1:
Iteração 2:
Então, a raiz aproximada é
.
Passo 6
Vamos repetir o mesmo processo para
:
Iteração 1:
Iteração 2:
Então, a raiz aproximada é
.
Passo 7
Agora, para
:
Iteração 1:
Iteração 2:
Então, a raiz aproximada é
.
Passo 8
Finalmente, para
:
Iteração 1:
Iteração 2:
Então, a raiz aproximada é
.
Resposta
As raízes do polinômio
calculadas pelo método de Newton-Raphson são aproximadamente:
Exercícios relacionados
Considere o polinômio
.
a)Aplique a Regra do Sinal de Descartes e verifique quantas raízes reais positivas e negativas o polinônio possui.
a)Aplique a Regra do Sinal de Descartes e verifique quantas raízes reais positivas e negativas o polinônio possui.
Responder resumidamente:
c) Qual a vantagem de se utilizar o Algoritmo de Horner para se avaliar o valor do polinômio num ponto? Exemplifique.
c) Qual a vantagem de se utilizar o Algoritmo de Horner para se avaliar o valor do polinômio num ponto? Exemplifique.
Dado o conjunto de pontos
, onde:
Use o método de interpolação de Lagrange para determinar o polinômio de interpolação
que passa por esses pontos. Em seguida, utilize o polinômio encontrado para calcular o valor aproximado de
.
Um botânico está estudando o crescimento de determinada espécie de planta ao longo de seis meses. Ele registrou a altura das plantas (em centímetros) no final de cada mês, conforme mostrado na tabela abaixo:
Mês | Altura (em cm) |
1 | 10 |
2 | 22 |
3 | 37 |
4 | 55 |
5 | 76 |
6 | 100 |
Use o método dos mínimos quadrados para ajustar um polinômio de segundo grau da forma
aos dados de crescimento da planta. Com base no polinômio ajustado, estime a altura da planta no final do
mês.