Um município está monitorando o crescimento populacional ao longo dos últimos quinquênios. A tabela abaixo mostra a população registrada em três anos distintos:
Ano População
2010 10.000
2015 12.500
2020 15.000
Utilize a interpolação polinomial para estimar a população projetada para o ano de 2018. O polinômio encontrado é adequado para estimar a população dessa cidade no ano que vem (2025)? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o crescimento da população de um município ao longo de alguns anos. A gente tem dados de 2010, 2015 e 2020, e a tarefa é usar interpolação polinomial para estimar qual seria a população em 2018. Além disso, também precisamos pensar se o polinômio que encontramos serve para prever a população em 2025. Para isso, vamos precisar mexer com equações de polinômios e entender como eles se ajustam aos dados que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
|c|c| hline Ano & População hline 2010 & 10.000 2015 & 12.500 2020 & 15.000 hline çã
Para facilitar os cálculos, vamos definir como o número de anos passados desde 2010. Assim:
  • 2010: , População = 10.000
  • 2015: , População = 12.500
  • 2020: , População = 15.000

Passo 3

Agora, queremos encontrar um polinômio P(x) = ax^2 + bx + c que passa por esses três pontos. Como temos três pontos, vamos usar um polinômio de segundo grau (quadrático):
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e .

Passo 4

Vamos montar um sistema de equações usando os pontos que temos:
  1. Para 10.000 = a(0)^2 + b(0) + c Rightarrow c = 10.000 (2010):
12.500 = a(5)^2 + b(5) + 10.000 Rightarrow 25a + 5b = 2.500
  1. Para 15.000 = a(10)^2 + b(10) + 10.000 Rightarrow 100a + 10b = 5.000 (2015):
  1. Para (2020):

Passo 5

Agora, temos o sistema:
25a + 5b = 2.500 100a + 10b = 5.000 c = 10.000
Vamos simplificar as duas primeiras equações. A segunda equação pode ser dividida por 5:
20a + 2b = 1.000
Agora, podemos multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação:
50a + 10b = 5.000
Agora, subtraímos a segunda equação simplificada da nova equação:
50a + 10b - (20a + 2b) = 5.000 - 1.000 30a + 8b = 4.000
Mas parece que houve um erro na simplificação anterior. Vamos refazer:
Na verdade, vamos resolver o sistema original:
25a + 5b = 2.500 100a + 10b = 5.000 c = 10.000
Podemos dividir a segunda equação por 5:
20a + 2b = 1.000
Agora, a primeira equação também pode ser dividida por 5:
5a + b = 500
Agora, temos:
5a + b = 500 20a + 2b = 1.000 c = 10.000
Vamos multiplicar a primeira equação por 2:
10a + 2b = 1.000
Subtraindo a segunda equação:
(10a + 2b) - (20a + 2b) = 1.000 - 1.000 -10a = 0 Rightarrow a = 0
Substituindo 5(0) + b = 500 Rightarrow b = 500 na primeira equação:
a = 0, b = 500, c = 10.000
Então, temos:

Passo 6

Agora, nosso polinômio fica:
P(x) = 0x^2 + 500x + 10.000 P(x) = 500x + 10.000
Isso significa que, segundo nosso modelo, a população cresce de forma linear, aumentando 500 habitantes a cada ano.

Passo 7

Vamos usar esse polinômio para estimar a população em 2018. Primeiro, calculamos o valor de 2018 - 2010 = 8 Rightarrow x = 8 para 2018:
P(8) = 500(8) + 10.000 = 4.000 + 10.000 = 14.000
Agora, substituímos na equação:

Resposta

A população projetada para o ano de 2018, usando interpolação polinomial, é de 14.000 habitantes. Quanto à adequação do polinômio para estimar a população em 2025, como o modelo é linear e nossa última previsão foi para 2020, extrapolar até 2025 pode não ser muito preciso. Modelos lineares podem não capturar mudanças nas taxas de crescimento que possam ocorrer, então seria melhor usar mais dados ou modelos mais complexos para previsões futuras.

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