Um município está monitorando o crescimento populacional ao longo dos últimos quinquênios. A tabela abaixo mostra a população registrada em três anos distintos:
Ano População
2010 10.000
2015 12.500
2020 15.000
Utilize a interpolação polinomial para estimar a população projetada para o ano de 2018. O polinômio encontrado é adequado para estimar a população dessa cidade no ano que vem (2025)? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o crescimento da população de um município ao longo de alguns anos. A gente tem dados de 2010, 2015 e 2020, e a tarefa é usar interpolação polinomial para estimar qual seria a população em 2018. Além disso, também precisamos pensar se o polinômio que encontramos serve para prever a população em 2025. Para isso, vamos precisar mexer com equações de polinômios e entender como eles se ajustam aos dados que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
çã
Para facilitar os cálculos, vamos definir como o número de anos passados desde 2010. Assim:
  • 2010: , População = 10.000
  • 2015: , População = 12.500
  • 2020: , População = 15.000

Passo 3

Agora, queremos encontrar um polinômio que passa por esses três pontos. Como temos três pontos, vamos usar um polinômio de segundo grau (quadrático):
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e .

Passo 4

Vamos montar um sistema de equações usando os pontos que temos:
  1. Para (2010):
  1. Para (2015):
  1. Para (2020):

Passo 5

Agora, temos o sistema:
Vamos simplificar as duas primeiras equações. A segunda equação pode ser dividida por 5:
Agora, podemos multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação:
Agora, subtraímos a segunda equação simplificada da nova equação:
Mas parece que houve um erro na simplificação anterior. Vamos refazer:
Na verdade, vamos resolver o sistema original:
Podemos dividir a segunda equação por 5:
Agora, a primeira equação também pode ser dividida por 5:
Agora, temos:
Vamos multiplicar a primeira equação por 2:
Subtraindo a segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, temos:

Passo 6

Agora, nosso polinômio fica:
Isso significa que, segundo nosso modelo, a população cresce de forma linear, aumentando 500 habitantes a cada ano.

Passo 7

Vamos usar esse polinômio para estimar a população em 2018. Primeiro, calculamos o valor de para 2018:
Agora, substituímos na equação:

Resposta

A população projetada para o ano de 2018, usando interpolação polinomial, é de 14.000 habitantes. Quanto à adequação do polinômio para estimar a população em 2025, como o modelo é linear e nossa última previsão foi para 2020, extrapolar até 2025 pode não ser muito preciso. Modelos lineares podem não capturar mudanças nas taxas de crescimento que possam ocorrer, então seria melhor usar mais dados ou modelos mais complexos para previsões futuras.

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Um botânico está estudando o crescimento de determinada espécie de planta ao longo de seis meses. Ele registrou a altura das plantas (em centímetros) no final de cada mês, conforme mostrado na tabela abaixo:
Mês Altura (em cm)
1 10
2 22
3 37
4 55
5 76
6 100
Use o método dos mínimos quadrados para ajustar um polinômio de segundo grau da forma aos dados de crescimento da planta. Com base no polinômio ajustado, estime a altura da planta no final do mês.
Dado o conjunto de pontos , onde:
Use o método de interpolação de Lagrange para determinar o polinômio de interpolação que passa por esses pontos. Em seguida, utilize o polinômio encontrado para calcular o valor aproximado de .
Considere o sistema de equações lineares
a) Resolva o sistema pelo Método de Eliminação de Gauss;
Considere os seguintes pontos experimentais:
Utilize o método dos mínimos quadrados para encontrar a equação da reta que melhor ajusta esses pontos. Em seguida, determine o valor estimado de para usando a reta encontrada.