Calcule a integral indefinida.

Passo 1

Então, a gente tem que resolver uma integral indefinida que é:

Esse exercício está relacionado com o cálculo de integrais, especificamente usando o método de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função que, ao ser substituída, simplifica a integral para algo que a gente já sabe resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integral. Observando a expressão , percebemos que a derivada de em relação a é . Porém, na nossa integral temos . Isso sugere que podemos ajustar a substituição para que funcione.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
Agora, calculamos a derivada de em relação a :
Mas na nossa integral temos . Observamos que , então:

Passo 4

Substituindo na integral original:
Agora, temos uma integral mais simples que é a de em relação a .

Passo 5

Integrando :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes derivadas:
Calcule a integral indefinida.
Um bote motorizado e seu tripulante têm uma massa de 120 quilogramas e estava inicialmente no repouso. O motor exerce uma força constante de 10 newtons, na direção do movimento. A resistência exercida pela água, ao movimento, é, em módulo, igual ao dobro da velocidade.
a. Determine a velocidade do bote em função do tempo.
b. Determine a velocidade limite do bote.
c. Faça um esboço do gráfico da velocidade em função do tempo.
Calcule as seguintes derivadas: