Calcule a integral indefinida.
integral(2 x^2+2 x-1)^35(2 x+1) d x

Passo 1

Então, a gente tem que resolver uma integral indefinida que é:
integral(2 x^2+2 x-1)^35(2 x+1) , dx
Esse exercício está relacionado com o cálculo de integrais, especificamente usando o método de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função que, ao ser substituída, simplifica a integral para algo que a gente já sabe resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integral. Observando a expressão (2 x^2+2 x-1)^35, percebemos que a derivada de 2 x^2+2 x-1 em relação a x é 4x + 2. Porém, na nossa integral temos (2x + 1). Isso sugere que podemos ajustar a substituição para que funcione.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
u = 2 x^2 + 2 x - 1
Agora, calculamos a derivada de u em relação a x:
dudx = 4x + 2 Rightarrow du = (4x + 2) , dx
Mas na nossa integral temos (2x + 1) , dx. Observamos que (4x + 2) , dx = 2(2x + 1) , dx, então:
du = 2(2x + 1) , dx Rightarrow (2x + 1) , dx = du2

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral(2 x^2+2 x-1)^35(2 x+1) , dx = integral u^35 cdot du2 = 12 integral u^35 , du
Agora, temos uma integral mais simples que é a de u^35 em relação a u.

Passo 5

Integrando u^35:
12 integral u^35 , du = 12 cdot u^3636 + C = u^3672 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos u de volta pela expressão original em termos de x:
(2 x^2 + 2 x - 1)^3672 + C

Resposta

A integral é igual a dfrac(2 x^2+2 x-1)^3672 + C, onde C é a constante de integração.

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