Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Então, a gente tem que resolver uma integral indefinida que é:
Esse exercício está relacionado com o cálculo de integrais, especificamente usando o método de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função que, ao ser substituída, simplifica a integral para algo que a gente já sabe resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integral. Observando a expressão
, percebemos que a derivada de
em relação a
é
. Porém, na nossa integral temos
. Isso sugere que podemos ajustar a substituição para que funcione.
Passo 3
Vamos fazer a substituição:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Mas na nossa integral temos
. Observamos que
, então:
Passo 4
Substituindo na integral original:
Agora, temos uma integral mais simples que é a de
em relação a
.
Passo 5
Integrando
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, substituímos
de volta pela expressão original em termos de
:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes derivadas:
Calcule a integral indefinida.
Um bote motorizado e seu tripulante têm uma massa de 120 quilogramas e estava inicialmente no repouso. O motor exerce uma força constante de 10 newtons, na direção do movimento. A resistência exercida pela água, ao movimento, é, em módulo, igual ao dobro da velocidade.
a. Determine a velocidade do bote em função do tempo.
b. Determine a velocidade limite do bote.
c. Faça um esboço do gráfico da velocidade em função do tempo.
a. Determine a velocidade do bote em função do tempo.
b. Determine a velocidade limite do bote.
c. Faça um esboço do gráfico da velocidade em função do tempo.
Calcule as seguintes derivadas: