A boy is initially seated on the top of a hemispherical ice mound of radius R=13.8 m. He begins to slide down the ice, with a negligible initial speed (Fig. 8-45). Approximate the ice as being frictionless. At what height does the boy lose contact with the ice?

Passo 1

Resumo da questão: Um menino está sentado no topo de um monte de gelo hemisférico com raio . Ele começa a deslizar sem velocidade inicial e sem atrito. Precisamos descobrir a altura em que o menino perde o contato com o gelo.
Conteúdo da matéria: Dinâmica de movimento circular, forças em contato e forças centrípetas.
Vamos precisar usar a segunda lei de Newton aplicada ao movimento circular e a conservação da energia.

Passo 2

Enquanto desliza pelo gelo sem atrito, as únicas forças atuando no menino são a força gravitacional ( ) e a força normal ( ) do gelo.

Passo 3

Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial (para o movimento circular), temos:
N + mg costheta = mv^2R
Onde:
  • é a força normal,
  • é a massa do menino,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é o ângulo em relação à vertical,
  • é a velocidade do menino,
  • é o raio do monte de gelo.

Passo 4

O menino perde contato com o gelo quando a força normal mg costheta = mv^2R se torna zero. Então, a equação fica:
v^2 = g R costheta
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar m g R = m g R costheta + 12 m v^2 , usamos a conservação da energia. No topo, a energia potencial é g R (1 - costheta) = 12 v^2 . Em um ponto qualquer, a energia potencial é v^2 = 2 g R (1 - costheta) e a energia cinética é .
Conservando a energia:
Simplificando:
Então:

Passo 6

Igualamos as duas expressões para 2 g R (1 - costheta) = g R costheta :
2 (1 - costheta) = costheta
Dividindo ambos os lados por 2 - 2 costheta = costheta 2 = 3 costheta costheta = 23 :
Resolvendo para :

Resposta

A altura em que o menino perde o contato com o gelo é:
h = R costheta = 13,8 , m times 23 approx 9,2 , m
Portanto, o menino perde o contato com o gelo a uma altura de aproximadamente 9,2 metros.

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