A boy is initially seated on the top of a hemispherical ice mound of radius
. He begins to slide down the ice, with a negligible initial speed (Fig. 8-45). Approximate the ice as being frictionless. At what height does the boy lose contact with the ice?
Passo 1
Resumo da questão: Um menino está sentado no topo de um monte de gelo hemisférico com raio
. Ele começa a deslizar sem velocidade inicial e sem atrito. Precisamos descobrir a altura em que o menino perde o contato com o gelo.
Conteúdo da matéria: Dinâmica de movimento circular, forças em contato e forças centrípetas.
Vamos precisar usar a segunda lei de Newton aplicada ao movimento circular e a conservação da energia.
Passo 2
Enquanto desliza pelo gelo sem atrito, as únicas forças atuando no menino são a força gravitacional (
) e a força normal (
) do gelo.
Passo 3
Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial (para o movimento circular), temos:
Onde:
-
é a força normal, -
é a massa do menino, -
é a aceleração da gravidade, -
é o ângulo em relação à vertical, -
é a velocidade do menino, -
é o raio do monte de gelo.
Passo 4
O menino perde contato com o gelo quando a força normal
se torna zero. Então, a equação fica:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar
, usamos a conservação da energia. No topo, a energia potencial é
. Em um ponto qualquer, a energia potencial é
e a energia cinética é
.
Conservando a energia:
Simplificando:
Então:
Passo 6
Igualamos as duas expressões para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Resolvendo para
:
Resposta
A altura em que o menino perde o contato com o gelo é:
Portanto, o menino perde o contato com o gelo a uma altura de aproximadamente 9,2 metros.
Exercícios relacionados
In Fig. 8-36, the string is
long, has a ball attached to one end, and is fixed at its other end. A fixed peg is at point
. Released from rest, the ball swings down until the string catches on the peg; then the ball swings up, around the peg. If the ball is to swing completely around the peg, what value must distance
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In Problem 6, what are the magnitudes of (a) the horizontal component and (b) the vertical component of the net force acting on the block at point
? © At what height
should the block be released from rest so that it is on the verge of losing contact with the track at the top of the loop? (On the verge of losing contact means that the normal force on the block from the track has just then become zero.) (d) Graph the magnitude of the normal force on the block at the top of the loop versus initial height
, for the range
to
.