A boy is initially seated on the top of a hemispherical ice mound of radius
. He begins to slide down the ice, with a negligible initial speed (Fig. 8-45). Approximate the ice as being frictionless. At what height does the boy lose contact with the ice?
Passo 1
Resumo da questão: Um menino está sentado no topo de um monte de gelo hemisférico com raio
. Ele começa a deslizar sem velocidade inicial e sem atrito. Precisamos descobrir a altura em que o menino perde o contato com o gelo.
Conteúdo da matéria: Dinâmica de movimento circular, forças em contato e forças centrípetas.
Vamos precisar usar a segunda lei de Newton aplicada ao movimento circular e a conservação da energia.
Passo 2
Enquanto desliza pelo gelo sem atrito, as únicas forças atuando no menino são a força gravitacional (
) e a força normal (
) do gelo.
Passo 3
Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial (para o movimento circular), temos:
Onde:
-
é a força normal, -
é a massa do menino, -
é a aceleração da gravidade, -
é o ângulo em relação à vertical, -
é a velocidade do menino, -
é o raio do monte de gelo.
Passo 4
O menino perde contato com o gelo quando a força normal
se torna zero. Então, a equação fica:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar
, usamos a conservação da energia. No topo, a energia potencial é
. Em um ponto qualquer, a energia potencial é
e a energia cinética é
.
Conservando a energia:
Simplificando:
Então:
Passo 6
Igualamos as duas expressões para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Resolvendo para
:
Resposta
A altura em que o menino perde o contato com o gelo é:
Portanto, o menino perde o contato com o gelo a uma altura de aproximadamente 9,2 metros.