In Fig. 8-36, the string is L=120 cm long, has a ball attached to one end, and is fixed at its other end. A fixed peg is at point P. Released from rest, the ball swings down until the string catches on the peg; then the ball swings up, around the peg. If the ball is to swing completely around the peg, what value must distance d exceed? (Hint: The ball must still be moving at the top of its swing. Do you see why?)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um pêndulo com uma corda de comprimento L = 120 cm. Tem uma bola presa em uma das extremidades e a outra está fixa. Tem também um ponto fixo P onde a corda pode prender. Quando a bola é solta, ela balança até que a corda grude no peg, e então a bola continua balançando ao redor desse peg. A pergunta é: para que a bola complete um círculo completo ao redor do peg, qual deve ser o valor mínimo que a distância d entre o peg e o ponto fixo deve exceder? Vamos precisar usar conceitos de conservação de energia e movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisa acontecer para a bola completar o círculo. No ponto mais alto do movimento circular ao redor do peg, a bola precisa ter velocidade suficiente para que a força centrípeta seja pelo menos igual à força da gravidade. Isso garante que a bola não pare no topo.
Matematicamente, isso significa:
v^2r >= g
Onde:
  • v é a velocidade da bola no ponto mais alto,
  • r = L - d é o novo comprimento efetivo da corda após prender no peg,
  • g é a aceleração da gravidade ( approx 9,8 m/s^2).
Rearranjando a equação para encontrar v mínimo:
v >= raizg r = raizg (L - d)

Passo 3

Agora, vamos usar a conservação da energia para relacionar a altura de onde a bola foi solta até o ponto onde ela começa a se mover ao redor do peg. Quando a bola é solta do repouso, toda a sua energia é potencial gravitacional:
Einicial = m g h
Onde h é a altura inicial.
No ponto onde a corda pega no peg, a altura muda, e parte da energia se transforma em energia cinética:
Efinal = m g h' + 12 m v^2
Como a energia se conserva:
m g h = m g h' + 12 m v^2
Podemos simplificar cancelando m e rearranjando para encontrar v:
v = raiz2 g (h - h')

Passo 4

Precisamos agora relacionar as alturas h e h'. Considerando que a corda tem comprimento L, a altura inicial h quando a bola é solta é igual a L (considerando que o ponto mais baixo do movimento após soltar é a referência zero de altura).
Quando a corda prende no peg a distância d do ponto fixo, a nova altura h' no ponto mais alto do círculo ao redor do peg é 2(L - d), já que a bola sobe até o topo do círculo.
Substituindo na equação da velocidade:
v = raiz2 g (L - 2(L - d)) = raiz2 g (2d - L)

Passo 5

Agora, vamos igualar a expressão de v obtida pela conservação de energia com a necessária para completar o círculo:
raiz2 g (2d - L) >= raizg (L - d)
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
2 g (2d - L) >= g (L - d)
Cancelando g dos dois lados:
2(2d - L) >= (L - d)
Distribuindo:
4d - 2L >= L - d
Somando d e 2L dos dois lados:
5d >= 3L
Finalmente, isolando d:
d >= 3L5
Substituindo L = 120 cm:
d >= 3 times 1205 = 72 cm

Resposta

A distância d deve ser maior ou igual a 72 cm para que a bola complete um círculo completo ao redor do peg.

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