In Fig. 8-36, the string is
long, has a ball attached to one end, and is fixed at its other end. A fixed peg is at point
. Released from rest, the ball swings down until the string catches on the peg; then the ball swings up, around the peg. If the ball is to swing completely around the peg, what value must distance
exceed? (Hint: The ball must still be moving at the top of its swing. Do you see why?)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um pêndulo com uma corda de comprimento
. Tem uma bola presa em uma das extremidades e a outra está fixa. Tem também um ponto fixo
onde a corda pode prender. Quando a bola é solta, ela balança até que a corda grude no peg, e então a bola continua balançando ao redor desse peg. A pergunta é: para que a bola complete um círculo completo ao redor do peg, qual deve ser o valor mínimo que a distância
entre o peg e o ponto fixo deve exceder? Vamos precisar usar conceitos de conservação de energia e movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que precisa acontecer para a bola completar o círculo. No ponto mais alto do movimento circular ao redor do peg, a bola precisa ter velocidade suficiente para que a força centrípeta seja pelo menos igual à força da gravidade. Isso garante que a bola não pare no topo.
Matematicamente, isso significa:
Onde:
-
é a velocidade da bola no ponto mais alto, -
é o novo comprimento efetivo da corda após prender no peg, -
é a aceleração da gravidade ( ).
Rearranjando a equação para encontrar
mínimo:
Passo 3
Agora, vamos usar a conservação da energia para relacionar a altura de onde a bola foi solta até o ponto onde ela começa a se mover ao redor do peg. Quando a bola é solta do repouso, toda a sua energia é potencial gravitacional:
Onde
é a altura inicial.
No ponto onde a corda pega no peg, a altura muda, e parte da energia se transforma em energia cinética:
Como a energia se conserva:
Podemos simplificar cancelando
e rearranjando para encontrar
:
Passo 4
Precisamos agora relacionar as alturas
e
. Considerando que a corda tem comprimento
, a altura inicial
quando a bola é solta é igual a
(considerando que o ponto mais baixo do movimento após soltar é a referência zero de altura).
Quando a corda prende no peg a distância
do ponto fixo, a nova altura
no ponto mais alto do círculo ao redor do peg é
, já que a bola sobe até o topo do círculo.
Substituindo na equação da velocidade:
Passo 5
Agora, vamos igualar a expressão de
obtida pela conservação de energia com a necessária para completar o círculo:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Cancelando
dos dois lados:
Distribuindo:
Somando
e
dos dois lados:
Finalmente, isolando
:
Substituindo
:
Resposta
A distância
deve ser maior ou igual a
para que a bola complete um círculo completo ao redor do peg.