Figure 8-34 shows an 8.00 kg stone at rest on a spring. The spring is compressed 10.0 cm by the stone. (a) What is the spring constant? (b) The stone is pushed down an additional 30.0 cm and released. What is the elastic potential energy of the compressed spring just before that release? © What is the change in the gravitational potential energy of the stone-Earth system when the stone moves from the release point to its maximum height? (d) What is that maximum height, measured from the release point?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma pedra de 8,00 kg em repouso sobre uma mola que está comprimida em 10,0 cm. Vamos resolver quatro partes: encontrar a constante da mola, a energia potencial elástica quando a mola é comprimida mais, a mudança na energia potencial gravitacional e a altura máxima que a pedra alcança. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática, Lei de Hooke e conservação de energia.

Passo 2

Parte (a): Encontrar a constante da mola (k).
Primeiro, quando a pedra está em repouso sobre a mola, a força da mola equilibra o peso da pedra. A Lei de Hooke nos diz que a força exercida por uma mola é k cdot x = m cdot g , onde:
  • k = m cdot gx é a força da mola,
  • x = 10,0 , cm = 0,10 , m é a constante da mola,
  • k = 8,00 , kg cdot 9,81 , m/s²0,10 , m é a compressão da mola.
O peso da pedra é dado por k = 78,48 , N0,10 , m , onde:
  • k = 784,8 , N/m é a massa da pedra,
  • ² é a aceleração da gravidade.
Como a pedra está em equilíbrio, . Então:
Agora, precisamos converter a compressão da mola de centímetros para metros:
Substituindo os valores:
²

Passo 3

Parte (b): Encontrar a energia potencial elástica quando a mola é comprimida adicionalmente por 30,0 cm.
A energia potencial elástica armazenada em uma mola comprimida é dada por:
EPE = 12 k x^2
onde:
  • xtotal = 10,0 , cm + 30,0 , cm = 40,0 , cm = 0,40 , m é a energia potencial elástica,
  • EPE = 12 cdot 784,8 , N/m cdot (0,40 , m)^2 é a constante da mola,
  • EPE = 0,5 cdot 784,8 cdot 0,16 é a compressão total da mola.
A compressão total da mola é a soma da compressão inicial e a adicional:
EPE = 0,5 cdot 125,568
Substituindo os valores:
EPE = 62,784 , J

Passo 4

Parte ©: Determinar a mudança na energia potencial gravitacional quando a pedra se move da posição de liberação para a altura máxima.
Quando a pedra é liberada e sobe até a altura máxima, a energia potencial elástica armazenada na mola se transforma em energia potencial gravitacional. A mudança na energia potencial gravitacional ( De) é igual à energia potencial elástica inicial:

Passo 5

Parte (d): Calcular a altura máxima atingida pela pedra a partir do ponto de liberação.
A energia potencial gravitacional é dada por:
U = m cdot g cdot h
onde:
  • m cdot g cdot h = 62,784 , J é a energia potencial gravitacional,
  • h = 62,7848,00 cdot 9,81 ,
  • h = 62,78478,48 ²,
  • h approx 0,80 , m é a altura.
Igualando a energia potencial gravitacional à mudança de energia:

Resposta

(a) A constante da mola é aproximadamente .
(b) A energia potencial elástica é .
© A mudança na energia potencial gravitacional é .
(d) A altura máxima atingida pela pedra é aproximadamente .

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