(Boyce, 2020,pg 29) Considere uma tanque com 50 libras de sal dissolvido em 100 galões de água. A equação diferencial linear que rege a variação da quantidade de libras de sal no tanque é dada por:
. Calcule o tempo
necessário para que a quantidade de sal no tanque seja de 40 libras, resolvendo a equação diferencial linear e usando que,
(RESPOSTA:
.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um tanque com 50 libras de sal dissolvido em 100 galões de água. A gente precisa resolver a equação diferencial
para descobrir quanto tempo
leva para que a quantidade de sal no tanque seja de 40 libras. Vamos utilizar conceitos de equações diferenciais lineares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para ficar mais fácil de trabalhar:
Aqui, identificamos que é uma equação diferencial linear da forma
, onde
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos achar um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Simplificando:
Passo 6
Dividimos ambos os lados por
:
Passo 7
Agora usamos a condição inicial
para encontrar
:
Então, a solução geral da equação é:
Passo 8
Queremos encontrar o tempo
quando
. Substituímos na equação:
Subtraímos 25 de ambos os lados:
Dividimos por 25:
Passo 9
Agora, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados para resolver para
:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Resposta
O tempo necessário para que a quantidade de sal no tanque seja de 40 libras é aproximadamente
minutos.