(Boyce, 2020,pg 29) Considere uma tanque com 50 libras de sal dissolvido em 100 galões de água. A equação diferencial linear que rege a variação da quantidade de libras de sal no tanque é dada por: dQ/dt = 3/4 - 3 Q(t)/100. Calcule o tempo t necessário para que a quantidade de sal no tanque seja de 40 libras, resolvendo a equação diferencial linear e usando que, Q(0) = 50 (RESPOSTA: t ≈ 17,02752079 min.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um tanque com 50 libras de sal dissolvido em 100 galões de água. A gente precisa resolver a equação diferencial para descobrir quanto tempo leva para que a quantidade de sal no tanque seja de 40 libras. Vamos utilizar conceitos de equações diferenciais lineares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para ficar mais fácil de trabalhar:
Aqui, identificamos que é uma equação diferencial linear da forma , onde e .

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos achar um fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Simplificando:

Passo 6

Dividimos ambos os lados por :

Passo 7

Agora usamos a condição inicial para encontrar :
Então, a solução geral da equação é:

Passo 8

Queremos encontrar o tempo quando . Substituímos na equação:
Subtraímos 25 de ambos os lados:
Dividimos por 25:

Passo 9

Agora, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados para resolver para :
Multiplicamos ambos os lados por :

Resposta

O tempo necessário para que a quantidade de sal no tanque seja de 40 libras é aproximadamente minutos.

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