Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos
a região limitada pela curva
. Mostre todos os passos detalhadamente.
Passo 1
Vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular o volume de um sólido gerado ao girar a região limitada pela curva no intervalo
em torno do eixo dos
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrais e conceitos de cálculo de volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando giramos uma curva em torno do eixo dos
, o volume pode ser calculado integrando a área de discos infinitesimais ao longo do intervalo. A fórmula geral é:
onde
é a função que representa a curva.
Passo 3
No nosso caso, a função é , e o intervalo é de
até
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral . Para isso, podemos usar a identidade trigonométrica:
Assim, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular essa integral:
A primeira integral é:
A segunda integral é:
Então, a integral total é:
Passo 6
Agora, voltando à fórmula do volume:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
.
Exercícios relacionados
Calcule, utilizando frações parciais e mostrando cada passo da decomposição e integração, a seguinte integral
Usando integração, mostre que a área de um círculo de raio
é
. Mostre cada passo detalhadamente.
. Houve uma epidemia de um vírus na população de uma cidade, de 1000.000 habitantes. Inicialmente,
da população contraiu o vírus e em sete dias este percentual cresceu para
. Supondo
o percentual de infectados e
o percentual de são, e que a taxa de propagação seja dada por:
, calcule: o tempo necessário para que o percentual de enfermos seja de
.Sugestões: Use frações parciais na integração e consulte o livro (Abunahman, 1990), página 40.
(Boyce, 2020,pg 29) Considere uma tanque com 50 libras de sal dissolvido em 100 galões de água. A equação diferencial linear que rege a variação da quantidade de libras de sal no tanque é dada por:
. Calcule o tempo
necessário para que a quantidade de sal no tanque seja de 40 libras, resolvendo a equação diferencial linear e usando que,
(RESPOSTA:
.)