Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos
a região limitada pela curva
. Mostre todos os passos detalhadamente.
Passo 1
Vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular o volume de um sólido gerado ao girar a região limitada pela curva no intervalo
em torno do eixo dos
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrais e conceitos de cálculo de volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando giramos uma curva em torno do eixo dos
, o volume pode ser calculado integrando a área de discos infinitesimais ao longo do intervalo. A fórmula geral é:
onde
é a função que representa a curva.
Passo 3
No nosso caso, a função é , e o intervalo é de
até
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral . Para isso, podemos usar a identidade trigonométrica:
Assim, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular essa integral:
A primeira integral é:
A segunda integral é:
Então, a integral total é:
Passo 6
Agora, voltando à fórmula do volume:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
.