Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos x a região limitada pela curva y = sen(x), x ∈ [0, 2pi]. Mostre todos os passos detalhadamente.

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular o volume de um sólido gerado ao girar a região limitada pela curva no intervalo em torno do eixo dos . Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrais e conceitos de cálculo de volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando giramos uma curva em torno do eixo dos , o volume pode ser calculado integrando a área de discos infinitesimais ao longo do intervalo. A fórmula geral é:
onde é a função que representa a curva.

Passo 3

No nosso caso, a função é , e o intervalo é de até . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral . Para isso, podemos usar a identidade trigonométrica:
Assim, a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular essa integral:
A primeira integral é:
A segunda integral é:
Então, a integral total é:

Passo 6

Agora, voltando à fórmula do volume:

Resposta

O volume do sólido de revolução é .

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(Boyce, 2020,pg 29) Considere uma tanque com 50 libras de sal dissolvido em 100 galões de água. A equação diferencial linear que rege a variação da quantidade de libras de sal no tanque é dada por: dQ/dt = 3/4 - 3 Q(t)/100. Calcule o tempo t necessário para que a quantidade de sal no tanque seja de 40 libras, resolvendo a equação diferencial linear e usando que, Q(0) = 50 (RESPOSTA: t ≈ 17,02752079 min.)