y' = t^2 / y(1 + t^3), y(0) = y0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: com a condição inicial . A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, especificamente equações diferenciais separáveis. Vamos precisar separar as variáveis e para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. A equação dada é:
Vamos multiplicar ambos os lados por e por para isolar e :

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. O lado esquerdo é a integral de , e o lado direito é a integral de :

Passo 4

Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Observando , podemos fazer uma substituição para simplificar:
Seja , então ou .
Substituindo na integral:
Onde é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Podemos combinar as constantes e em uma só constante :

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar . Substituindo e :

Passo 8

Substituímos de volta na equação:
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:

Passo 9

Finalmente, isolamos para obter a solução explícita:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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