Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
com a condição inicial
. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, especificamente equações diferenciais separáveis. Vamos precisar separar as variáveis
e
para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. A equação dada é:
Vamos multiplicar ambos os lados por
e por
para isolar
e
:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. O lado esquerdo é a integral de
, e o lado direito é a integral de
:
Passo 4
Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Observando
, podemos fazer uma substituição para simplificar:
Seja , então
ou
.
Substituindo na integral:
Seja
Substituindo na integral:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Podemos combinar as constantes
e
em uma só constante
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
e
:
Passo 8
Substituímos
de volta na equação:
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 9
Finalmente, isolamos
para obter a solução explícita:
Resposta
A solução da equação diferencial é: