Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
com a condição inicial
. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, especificamente equações diferenciais separáveis. Vamos precisar separar as variáveis
e
para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. A equação dada é:
Vamos multiplicar ambos os lados por
e por
para isolar
e
:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. O lado esquerdo é a integral de
, e o lado direito é a integral de
:
Passo 4
Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Observando
, podemos fazer uma substituição para simplificar:
Seja , então
ou
.
Substituindo na integral:
Seja
Substituindo na integral:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Podemos combinar as constantes
e
em uma só constante
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
e
:
Passo 8
Substituímos
de volta na equação:
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 9
Finalmente, isolamos
para obter a solução explícita:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Um osso fossilizado foi encontrado contendo
da sua quantia inicial de Carbono-14. Estime a idade do fóssil considerando que a meia-vida do Carbono-14 é 5730 anos e que a taxa de desintegração é dada por:
RESPOSTA:
anos.)
(Boyce, 2020,pg 29) Considere uma tanque com 50 libras de sal dissolvido em 100 galões de água. A equação diferencial linear que rege a variação da quantidade de libras de sal no tanque é dada por:
. Calcule o tempo
necessário para que a quantidade de sal no tanque seja de 40 libras, resolvendo a equação diferencial linear e usando que,
(RESPOSTA:
.)
(Zill, 2016,pg 97) De acordo com a lei empírica de Newton do esfriamento/aquecimento, a taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada temperatura ambiente. Se
representar a temperatura de um corpo no instante
a temperatura do meio que o rodeia e
a taxa segundo a qual a temperatura do corpo varia, a lei de Newton do esfriamento/aquecimento é convertida na sentença matemática:
, onde
é uma constante de proporcionalidade. Um corpo foi encontrado dentro de uma sala fechada de uma casa onde a temperatura era constante em
. No instante da descoberta a temperatura do núcleo do corpo foi medido e era
. Uma hora depois, uma segunda medição mostrou que a temperatura do núcleo do corpo era
. Suponha que o momento da morte corresponde a
e que a temperatura naquele momento era
. Determine quantas horas se passaram antes da descoberta do corpo. (Sugestão: Faça
denotar o instante em que o corpo foi descoberto.) (RESPOSTA:
horas da descoberta do corpo.)
(Brannan, 2013,pg 16) Considere um prédio como uma caixa parcialmente isolada sujeita a flutuações externas de temperatura. Sejam
e
as temperaturas interna e externa (em graus Fahrenheit), respectivamente, no instante
(em horas). Baseando-se na lei do resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação de
, denotada por
, é proporcional à diferença de temperatura
, obtemos então, a equação diferencial:
, onde
é uma constante positiva. Fazendo
e supondo que a oscilação da temperatura externa é dada por:
, obtemos:
. Considerando a condição inicial
, calcule a temperatura interna
, usando o método do fator integrante. (RESPOSTA:
)