. Houve uma epidemia de um vírus na população de uma cidade, de 1000.000 habitantes. Inicialmente,
da população contraiu o vírus e em sete dias este percentual cresceu para
. Supondo
o percentual de infectados e
o percentual de são, e que a taxa de propagação seja dada por:
, calcule: o tempo necessário para que o percentual de enfermos seja de
.Sugestões: Use frações parciais na integração e consulte o livro (Abunahman, 1990), página 40.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma epidemia numa cidade com 1.000.000 de habitantes. No começo, 10% da população pegou o vírus, e em sete dias esse percentual aumentou para 20%. Queremos descobrir quanto tempo levará para que 50% da população esteja infectada. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente uma equação logística que descreve a taxa de propagação do vírus.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
-
é o percentual de infectados no tempo . - A taxa de propagação é dada por
, onde é a constante de proporcionalidade.
Nosso objetivo é encontrar a função
e, em seguida, determinar o tempo
quando
.
Passo 3
Sabemos que inicialmente,
, e após 7 dias,
. Precisamos encontrar a constante
.
Primeiro, escrevemos a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando frações parciais:
Então, temos:
Passo 5
Vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
,
:
Agora, para
,
:
Simplificando:
Então,
Passo 6
Agora que temos
, podemos escrever a solução geral da equação logística:
Vamos resolver para
:
Passo 7
Queremos encontrar
quando
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Substituindo
:
Passo 8
Calculando os valores numéricos:
Resposta
Portanto, serão necessários aproximadamente 19 dias para que 50% da população esteja infectada.