. Houve uma epidemia de um vírus na população de uma cidade, de 1000.000 habitantes. Inicialmente, 10 % da população contraiu o vírus e em sete dias este percentual cresceu para 20 percento. Supondo x o percentual de infectados e 1 ? x o percentual de são, e que a taxa de propagação seja dada por: d x/d t k x (1 - x), calcule: o tempo necessário para que o percentual de enfermos seja de 50 %.Sugestões: Use frações parciais na integração e consulte o livro (Abunahman, 1990), página 40.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma epidemia numa cidade com 1.000.000 de habitantes. No começo, 10% da população pegou o vírus, e em sete dias esse percentual aumentou para 20%. Queremos descobrir quanto tempo levará para que 50% da população esteja infectada. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente uma equação logística que descreve a taxa de propagação do vírus.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • é o percentual de infectados no tempo .
  • A taxa de propagação é dada por , onde é a constante de proporcionalidade.
Nosso objetivo é encontrar a função e, em seguida, determinar o tempo quando .

Passo 3

Sabemos que inicialmente, , e após 7 dias, . Precisamos encontrar a constante .
Primeiro, escrevemos a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando frações parciais:
Então, temos:

Passo 5

Vamos usar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para , :
Agora, para , :
Simplificando:
Então,

Passo 6

Agora que temos , podemos escrever a solução geral da equação logística:
Vamos resolver para :

Passo 7

Queremos encontrar quando :
Multiplicando ambos os lados por :
Subtraindo de ambos os lados:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Substituindo :

Passo 8

Calculando os valores numéricos:

Resposta

Portanto, serão necessários aproximadamente 19 dias para que 50% da população esteja infectada.

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