Um osso fossilizado foi encontrado contendo Q(t) = 0,1% Q0 da sua quantia inicial de Carbono-14. Estime a idade do fóssil considerando que a meia-vida do Carbono-14 é 5730 anos e que a taxa de desintegração é dada por: dQ/dt = k Q(t) RESPOSTA: t = 57100 anos.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um osso fóssil que tem apenas 0,1% da quantidade original de Carbono-14. A matéria envolve o conceito de decaimento radioativo, especificamente usando a meia-vida do Carbono-14, que é de 5730 anos. Pra resolver, vamos precisar da fórmula do decaimento exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do decaimento radioativo:
Onde:
  • é a quantidade de Carbono-14 no tempo ,
  • é a quantidade inicial de Carbono-14,
  • é a constante de decaimento,
  • é o tempo.

Passo 3

A meia-vida ( ) é o tempo que leva para a quantidade de uma substância radioativa reduzir à metade. A relação entre a meia-vida e a constante é:
Vamos resolver para :
Substituindo anos:

Passo 4

Agora, sabemos que o osso tem de , ou seja:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Para resolver para , vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Calculando :

Passo 6

Agora, isolamos :
Substituindo o valor de :

Resposta

O osso fóssil tem aproximadamente anos.

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y' = t^2 / y(1 + t^3), y(0) = y0
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