Integre as equações das componentes da velocidade encontradas em c) e mostre que:
e
,com as condições iniciais
e
.
Essas são as equações paramétricas de um trocoide. Faça um polo da projeção da trajetória no plano xy para os casos: i)
, ii)
e iii)
. O último caso produz um ciclóide.
Essas são as equações paramétricas de um trocoide. Faça um polo da projeção da trajetória no plano xy para os casos: i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiramente, o enunciado pede para integrar as componentes da velocidade que encontramos na parte c) e chegar às equações de posição
e
. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente integração de funções. Vamos precisar usar as condições iniciais para encontrar as constantes de integração. No final, também vamos analisar como fica a trajetória para diferentes valores de
em relação a
.
Passo 2
Vamos começar integrando a componente da velocidade em
. A equação dada é:
Para encontrar
, integramos
em relação ao tempo
:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 3
Agora, aplicamos a condição inicial para
:
Substituindo
na equação de
:
Então, a equação de
fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar a componente da velocidade em
. A equação dada é:
Para encontrar
, integramos
em relação ao tempo
:
Aqui,
é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 5
Aplicamos a condição inicial para
:
Substituindo
na equação de
:
Portanto, a equação de
fica:
Passo 6
Resumindo, as equações paramétricas da posição são:
Essas equações descrevem a trajetória de um trocoide, que é o movimento de uma partícula sujeita a uma combinação de movimento circular e movimento retilíneo uniforme.
Passo 7
Agora, vamos analisar a projeção dessa trajetória no plano
para os diferentes casos:
i)
:
Neste caso, a amplitude do movimento circular em
é maior que a contribuição linear em
. A trajetória será uma trocoide com saliências, onde a partícula fará curvas mais pronunciadas no eixo
.
ii)
:
Aqui, a contribuição linear em
é mais dominante. A trajetória ainda é uma trocoide, mas as saliências serão menos acentuadas, resultando em curvas mais suaves no eixo
.
iii)
:
Este é um caso especial onde as contribuições circular e linear se equilibram perfeitamente. A trajetória resultante é uma ciclóide, que é a trajetória descrita por um ponto na borda de uma roda rolando sem deslizar sobre uma superfície plana.
Resposta
As equações paramétricas da posição são:
Com as condições iniciais:
Essas equações descrevem a trajetória de um trocoide, com diferentes comportamentos dependendo da relação entre
e
.