Integre as equações das componentes da velocidade encontradas em c) e mostre que:
x(t)=-Aomegac cos (omegac t)+EyB t e y(t)=Aomegac sin (omegac t),com as condições iniciais
x(0)=-Aomegac, x dot(0)=EyB, y(0)=0 e doty(0)=A.
Essas são as equações paramétricas de um trocoide. Faça um polo da projeção da trajetória no plano xy para os casos: i) A>EyB, ii) A e iii) A=EyB. O último caso produz um ciclóide.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiramente, o enunciado pede para integrar as componentes da velocidade que encontramos na parte c) e chegar às equações de posição e . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente integração de funções. Vamos precisar usar as condições iniciais para encontrar as constantes de integração. No final, também vamos analisar como fica a trajetória para diferentes valores de em relação a .

Passo 2

Vamos começar integrando a componente da velocidade em dotx(t) = EyB . A equação dada é:
x(t) = integral EyB , dt = EyB t + C1
Para encontrar , integramos em relação ao tempo :
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 3

Agora, aplicamos a condição inicial para x(0) = -Aomegac :
-Aomegac = EyB cdot 0 + C1 Rightarrow C1 = -Aomegac
Substituindo x(t) = EyB t - Aomegac na equação de :
Então, a equação de fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar a componente da velocidade em doty(t) = A cos(omegac t) . A equação dada é:
y(t) = integral A cos(omegac t) , dt = Aomegac sin(omegac t) + C2
Para encontrar , integramos em relação ao tempo :
Aqui, é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial para y(0) = 0 :
0 = Aomegac sin(0) + C2 Rightarrow C2 = 0
Substituindo y(t) = Aomegac sin(omegac t) na equação de :
Portanto, a equação de fica:

Passo 6

Resumindo, as equações paramétricas da posição são:
x(t) = EyB t - Aomegac cos(omegac t)
y(t) = Aomegac sin(omegac t)
Essas equações descrevem a trajetória de um trocoide, que é o movimento de uma partícula sujeita a uma combinação de movimento circular e movimento retilíneo uniforme.

Passo 7

Agora, vamos analisar a projeção dessa trajetória no plano para os diferentes casos:
i) :
Neste caso, a amplitude do movimento circular em é maior que a contribuição linear em . A trajetória será uma trocoide com saliências, onde a partícula fará curvas mais pronunciadas no eixo .
ii) :
Aqui, a contribuição linear em é mais dominante. A trajetória ainda é uma trocoide, mas as saliências serão menos acentuadas, resultando em curvas mais suaves no eixo .
iii) :
Este é um caso especial onde as contribuições circular e linear se equilibram perfeitamente. A trajetória resultante é uma ciclóide, que é a trajetória descrita por um ponto na borda de uma roda rolando sem deslizar sobre uma superfície plana.

Resposta

As equações paramétricas da posição são:
x(t) = -Aomegac cos (omegac t) + EyB t
y(t) = Aomegac sin (omegac t)
Com as condições iniciais:
x(0) = -Aomegac, dotx(0) = EyB, y(0) = 0, doty(0) = A
Essas equações descrevem a trajetória de um trocoide, com diferentes comportamentos dependendo da relação entre e .

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