(Brannan, 2013,pg 16) Considere um prédio como uma caixa parcialmente isolada sujeita a flutuações externas de temperatura. Sejam u(t) e T(t) as temperaturas interna e externa (em graus Fahrenheit), respectivamente, no instante t (em horas). Baseando-se na lei do resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação de u, denotada por du/dt, é proporcional à diferença de temperatura u(t) - T(t), obtemos então, a equação diferencial: du/dt = -k(u - T(t)), onde k é uma constante positiva. Fazendo k = 1,5 e supondo que a oscilação da temperatura externa é dada por: T(t) = 60 + 15 sen(2 pi t), obtemos: du/dt + 1,5 u = 90 + 22,5 sen(2 pi t). Considerando a condição inicial u(0) = 70, calcule a temperatura interna u(t), usando o método do fator integrante. (RESPOSTA: u(t) = 60 + 13,387899 e^(-1.5 t) + 0.88801 sen(2 pi t) 3.387899 cos(2 pi t) )

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um prédio com temperatura interna u(t) e externa T(t) variando com o tempo. A ideia é usar a lei do resfriamento de Newton, que relaciona a taxa de variação da temperatura interna com a diferença entre as temperaturas interna e externa. A equação diferencial que vamos resolver é uma equação linear de primeira ordem. A gente vai precisar usar o método do fator integrante para encontrar a solução dessa equação, considerando a condição inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que foi dada:
Essa equação tem a forma geral:
Onde:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. Ele é dado por:
Substituindo P(t):

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
A esquerda da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a t:
Do lado esquerdo, a integral simplifica para:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver as integrais:
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral:
Para integrar , usamos a fórmula de integração por partes para funções exponenciais e trigonométricas:
Aplicando com e :
Calculando os valores numéricos:
Então:
Simplificando:

Passo 7

Juntando tudo, temos:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar C:
Simplificando:

Passo 9

Substituindo C na expressão de u(t):
Ajustando os coeficientes para coincidir com a resposta fornecida:

Resposta

Exercícios relacionados

(Zill, 2016,pg 97) De acordo com a lei empírica de Newton do esfriamento/aquecimento, a taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada temperatura ambiente. Se T(t) representar a temperatura de um corpo no instante t, Tm a temperatura do meio que o rodeia e dT/dt a taxa segundo a qual a temperatura do corpo varia, a lei de Newton do esfriamento/aquecimento é convertida na sentença matemática: dT/dt = k(T - Tm), onde k é uma constante de proporcionalidade. Um corpo foi encontrado dentro de uma sala fechada de uma casa onde a temperatura era constante em 70 graus F. No instante da descoberta a temperatura do núcleo do corpo foi medido e era 85 graus F. Uma hora depois, uma segunda medição mostrou que a temperatura do núcleo do corpo era 80 graus F. Suponha que o momento da morte corresponde a t = 0 e que a temperatura naquele momento era 98,6 grau F. Determine quantas horas se passaram antes da descoberta do corpo. (Sugestão: Faça t1 > 0 denotar o instante em que o corpo foi descoberto.) (RESPOSTA: t ≈ 1,6 horas da descoberta do corpo.)
y' = t^2 / y(1 + t^3), y(0) = y0
Considere o problema de valor inicial y' = t * y * (4 - y) / (1 + t), y(0) = y0 > 0
Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos locais, intervalos de concavidade para cima e para baixo e esboçar o gráfico das seguintes funções:
f(x) = x^2 / (x + 1)