(Brannan, 2013,pg 16) Considere um prédio como uma caixa parcialmente isolada sujeita a flutuações externas de temperatura. Sejam
e
as temperaturas interna e externa (em graus Fahrenheit), respectivamente, no instante
(em horas). Baseando-se na lei do resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação de
, denotada por
, é proporcional à diferença de temperatura
, obtemos então, a equação diferencial:
, onde
é uma constante positiva. Fazendo
e supondo que a oscilação da temperatura externa é dada por:
, obtemos:
. Considerando a condição inicial
, calcule a temperatura interna
, usando o método do fator integrante. (RESPOSTA:
)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um prédio com temperatura interna
e externa
variando com o tempo. A ideia é usar a lei do resfriamento de Newton, que relaciona a taxa de variação da temperatura interna com a diferença entre as temperaturas interna e externa. A equação diferencial que vamos resolver é uma equação linear de primeira ordem. A gente vai precisar usar o método do fator integrante para encontrar a solução dessa equação, considerando a condição inicial
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que foi dada:
Essa equação tem a forma geral:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante. Ele é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver as integrais:
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Para integrar
, usamos a fórmula de integração por partes para funções exponenciais e trigonométricas:
Aplicando com
e
:
Calculando os valores numéricos:
Então:
Simplificando:
Passo 7
Juntando tudo, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Simplificando:
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
Ajustando os coeficientes para coincidir com a resposta fornecida:
Resposta
Exercícios relacionados
(Zill, 2016,pg 97) De acordo com a lei empírica de Newton do esfriamento/aquecimento, a taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada temperatura ambiente. Se
representar a temperatura de um corpo no instante
a temperatura do meio que o rodeia e
a taxa segundo a qual a temperatura do corpo varia, a lei de Newton do esfriamento/aquecimento é convertida na sentença matemática:
, onde
é uma constante de proporcionalidade. Um corpo foi encontrado dentro de uma sala fechada de uma casa onde a temperatura era constante em
. No instante da descoberta a temperatura do núcleo do corpo foi medido e era
. Uma hora depois, uma segunda medição mostrou que a temperatura do núcleo do corpo era
. Suponha que o momento da morte corresponde a
e que a temperatura naquele momento era
. Determine quantas horas se passaram antes da descoberta do corpo. (Sugestão: Faça
denotar o instante em que o corpo foi descoberto.) (RESPOSTA:
horas da descoberta do corpo.)
Considere o problema de valor inicial
Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos locais, intervalos de concavidade para cima e para baixo e esboçar o gráfico das seguintes funções: