(Zill, 2016,pg 97) De acordo com a lei empírica de Newton do esfriamento/aquecimento, a taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada temperatura ambiente. Se T(t) representar a temperatura de um corpo no instante t, Tm a temperatura do meio que o rodeia e dT/dt a taxa segundo a qual a temperatura do corpo varia, a lei de Newton do esfriamento/aquecimento é convertida na sentença matemática: dT/dt = k(T - Tm), onde k é uma constante de proporcionalidade. Um corpo foi encontrado dentro de uma sala fechada de uma casa onde a temperatura era constante em 70 graus F. No instante da descoberta a temperatura do núcleo do corpo foi medido e era 85 graus F. Uma hora depois, uma segunda medição mostrou que a temperatura do núcleo do corpo era 80 graus F. Suponha que o momento da morte corresponde a t = 0 e que a temperatura naquele momento era 98,6 grau F. Determine quantas horas se passaram antes da descoberta do corpo. (Sugestão: Faça t1 > 0 denotar o instante em que o corpo foi descoberto.) (RESPOSTA: t ≈ 1,6 horas da descoberta do corpo.)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente vai usar a Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton, que diz que a velocidade com que a temperatura de um objeto muda depende da diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. Aqui, precisamos descobrir quanto tempo se passou desde a morte até a descoberta do corpo. Vamos precisar resolver uma equação diferencial envolvendo temperaturas e tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da Lei de Newton do Resfriamento:
Aqui, é a temperatura do corpo no tempo , é a temperatura do ambiente, e é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabemos que no instante da morte ( ), a temperatura do corpo era . Então, temos a condição inicial:

Passo 4

O corpo foi encontrado com a temperatura de , e uma hora depois, estava a . Vamos chamar o instante da descoberta de . Assim:

Passo 5

A temperatura ambiente é constante a , então . Substituindo na equação:

Passo 6

Essa é uma equação diferencial linear. Podemos resolvê-la separando as variáveis:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver para :
Podemos escrever , então:

Passo 8

Usando a condição inicial :
Então, a solução da equação é:

Passo 9

Agora, usamos as informações no instante da descoberta e uma hora depois:
Para :

Passo 10

Para :
Sabemos que :

Passo 11

Agora, sabemos que e . Vamos encontrar :

Resposta

Foram aproximadamente 1,6 horas passadas antes da descoberta do corpo.

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