(Zill, 2016,pg 97) De acordo com a lei empírica de Newton do esfriamento/aquecimento, a taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada temperatura ambiente. Se
representar a temperatura de um corpo no instante
a temperatura do meio que o rodeia e
a taxa segundo a qual a temperatura do corpo varia, a lei de Newton do esfriamento/aquecimento é convertida na sentença matemática:
, onde
é uma constante de proporcionalidade. Um corpo foi encontrado dentro de uma sala fechada de uma casa onde a temperatura era constante em
. No instante da descoberta a temperatura do núcleo do corpo foi medido e era
. Uma hora depois, uma segunda medição mostrou que a temperatura do núcleo do corpo era
. Suponha que o momento da morte corresponde a
e que a temperatura naquele momento era
. Determine quantas horas se passaram antes da descoberta do corpo. (Sugestão: Faça
denotar o instante em que o corpo foi descoberto.) (RESPOSTA:
horas da descoberta do corpo.)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente vai usar a Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton, que diz que a velocidade com que a temperatura de um objeto muda depende da diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. Aqui, precisamos descobrir quanto tempo se passou desde a morte até a descoberta do corpo. Vamos precisar resolver uma equação diferencial envolvendo temperaturas e tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação da Lei de Newton do Resfriamento:
Aqui,
é a temperatura do corpo no tempo
,
é a temperatura do ambiente, e
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Sabemos que no instante da morte (
), a temperatura do corpo era
. Então, temos a condição inicial:
Passo 4
O corpo foi encontrado com a temperatura de
, e uma hora depois, estava a
. Vamos chamar o instante da descoberta de
. Assim:
Passo 5
A temperatura ambiente é constante a
, então
. Substituindo na equação:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial linear. Podemos resolvê-la separando as variáveis:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver para
:
Podemos escrever
, então:
Passo 8
Usando a condição inicial
:
Então, a solução da equação é:
Passo 9
Agora, usamos as informações no instante da descoberta e uma hora depois:
Para
:
Passo 10
Para
:
Sabemos que
:
Passo 11
Agora, sabemos que
e
. Vamos encontrar
:
Resposta
Foram aproximadamente 1,6 horas passadas antes da descoberta do corpo.