Seja x(t) uma função que dá a posição de uma partícula ao longo do tempo. A função é dada por x(t)=(t+k)^3, onde k é uma constante real. ^1 Calcule a velocidade instantânea dessa partícula usando a definição dada abaixo:
d x(t)d t=lim De

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que mostra a posição de uma partícula ao longo do tempo: . Nosso objetivo aqui é calcular a velocidade instantânea dessa partícula usando a definição de derivada. Isso envolve um pouco de cálculo, principalmente limites e derivadas. Vamos precisar entender como aplicar a definição de derivada para encontrar a velocidade nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que a velocidade instantânea representa: é a taxa de variação da posição em relação ao tempo naquele instante específico. Matematicamente, isso é dado pela derivada de dx(t)dt = limDe em relação a , que é:

Passo 3

Vamos calcular x(t + De. Substituindo por na função original:

Passo 4

Agora, vamos montar a expressão dentro do limite:
x(t + De

Passo 5

Para simplificar essa expressão, vamos expandir (t + De. Utilizando a fórmula do binômio de Newton:

Passo 6

Substituindo essa expansão na nossa expressão original:
(t + k)^3 + 3(t + k)^2 De

Passo 7

Agora, vamos cancelar 3(t + k)^2 De que aparece com sinais opostos:

Passo 8

Podemos fatorar De no numerador:

Passo 9

Cancelando 3(t + k)^2 + 3(t + k)De no numerador e denominador:

Passo 10

Agora, aplicamos o limite quando limDe tende a zero:

Resposta

A velocidade instantânea da partícula é:
dx(t)dt = 3(t + k)^2

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