Seja uma função que dá a posição de uma partícula ao longo do tempo. A função é dada por , onde é uma constante real. Calcule a velocidade instantânea dessa partícula usando a definição dada abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que mostra a posição de uma partícula ao longo do tempo: . Nosso objetivo aqui é calcular a velocidade instantânea dessa partícula usando a definição de derivada. Isso envolve um pouco de cálculo, principalmente limites e derivadas. Vamos precisar entender como aplicar a definição de derivada para encontrar a velocidade nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que a velocidade instantânea representa: é a taxa de variação da posição em relação ao tempo naquele instante específico. Matematicamente, isso é dado pela derivada de em relação a , que é:
Passo 3
Vamos calcular . Substituindo por na função original:
Passo 4
Agora, vamos montar a expressão dentro do limite:
Passo 5
Para simplificar essa expressão, vamos expandir . Utilizando a fórmula do binômio de Newton:
Passo 6
Substituindo essa expansão na nossa expressão original:
Passo 7
Agora, vamos cancelar que aparece com sinais opostos: