Num brinquedo bem conhecido, uma série de bolinhas metálicas idênticas, suspensas por fios idênticos presos a um suporte, estão inicialmente todas em contato. Se um determinado número de bolas é deslocado conjuntamente da posição de equilíbrio e solto (Fig.), o efeito da colisão com as demais é transferir a velocidade com que colidem a um igual número de bolas na outra extremidade, suspendendo-as. (a) Supondo que o efeito da colisão fosse transferir uma velocidade a bolas adjacentes situadas na outra extremidade, as colisões sendo todas elásticas, mostre que se tem, necessariamente, e . (b) Tomando , e supondo que o efeito da colisão fosse transferir velocidades e às duas bolas situadas mais à direita (fig), mostre que, necessariamente .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um brinquedo com bolinhas metálicas suspensas por fios. Quando a gente puxa algumas bolinhas e solta, elas colidem com as outras, transferindo velocidade. A questão está dentro da área de Mecânica, especificamente Colisões Elásticas. Vamos precisar entender como as velocidades são transferidas nas colisões e aplicar as leis da conservação de quantidade de movimento e energia.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a). A gente quer mostrar que se a velocidade transferida é para bolinhas, então necessariamente e . Para isso, vamos usar duas leis fundamentais das colisões elásticas:
  1. Conservação da Quantidade de Movimento: A quantidade de movimento total antes da colisão é igual à quantidade de movimento total depois.
  2. Conservação da Energia Cinética: A energia cinética total antes da colisão é igual à energia cinética total depois.

Passo 3

Vamos considerar que temos bolinhas sendo soltas com velocidade . A quantidade de movimento total antes da colisão é , onde é a massa de cada bolinha.
Após a colisão, temos bolinhas com velocidade . Então, a quantidade de movimento total depois da colisão é .
Pela conservação da quantidade de movimento:
Podemos simplificar o dos dois lados:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a conservação da energia cinética. A energia total antes da colisão é:
E a energia total depois da colisão é:
Igualando as duas:
Simplificando o :

Passo 5

Agora temos duas equações:
Vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar algumas variáveis:
Simplificando:

Passo 6

Substituindo na primeira equação:
Cancelando dos dois lados:
Então, mostramos que e .

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Aqui, temos bolinhas sendo soltas com velocidade , e queremos mostrar que as velocidades e das duas bolinhas mais à direita após a colisão são iguais a .
Vamos usar novamente as mesmas leis da conservação de quantidade de movimento e energia cinética.

Passo 8

Primeiro, a quantidade de movimento antes da colisão:
Depois da colisão, temos duas bolinhas com velocidades e :
Pela conservação da quantidade de movimento:
Simplificando:

Passo 9

Agora, a energia cinética antes da colisão:
Depois:
Pela conservação da energia cinética:
Simplificando:

Passo 10

Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos supor que e ver se isso gera uma contradição. Porém, através das equações, a única solução que satisfaz ambas é .

Resposta

Portanto, mostramos que e na parte (a), e que quando na parte (b).

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