Num brinquedo bem conhecido, uma série de bolinhas metálicas idênticas, suspensas por fios idênticos presos a um suporte, estão inicialmente todas em contato. Se um determinado número
de bolas é deslocado conjuntamente da posição de equilíbrio e solto (Fig.), o efeito da colisão com as demais é transferir a velocidade
com que colidem a um igual número de bolas na outra extremidade, suspendendo-as. (a) Supondo que o efeito da colisão fosse transferir uma velocidade
a
bolas adjacentes situadas na outra extremidade, as colisões sendo todas elásticas, mostre que se tem, necessariamente,
e
. (b) Tomando
, e supondo que o efeito da colisão fosse transferir velocidades
e
às duas bolas situadas mais à direita (fig), mostre que, necessariamente
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um brinquedo com bolinhas metálicas suspensas por fios. Quando a gente puxa algumas bolinhas e solta, elas colidem com as outras, transferindo velocidade. A questão está dentro da área de Mecânica, especificamente Colisões Elásticas. Vamos precisar entender como as velocidades são transferidas nas colisões e aplicar as leis da conservação de quantidade de movimento e energia.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a). A gente quer mostrar que se a velocidade transferida é
para
bolinhas, então necessariamente
e
. Para isso, vamos usar duas leis fundamentais das colisões elásticas:
- Conservação da Quantidade de Movimento: A quantidade de movimento total antes da colisão é igual à quantidade de movimento total depois.
- Conservação da Energia Cinética: A energia cinética total antes da colisão é igual à energia cinética total depois.
Passo 3
Vamos considerar que temos
bolinhas sendo soltas com velocidade
. A quantidade de movimento total antes da colisão é
, onde
é a massa de cada bolinha.
Após a colisão, temos
bolinhas com velocidade
. Então, a quantidade de movimento total depois da colisão é
.
Pela conservação da quantidade de movimento:
Podemos simplificar o
dos dois lados:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a conservação da energia cinética. A energia total antes da colisão é:
E a energia total depois da colisão é:
Igualando as duas:
Simplificando o
:
Passo 5
Agora temos duas equações:
Vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar algumas variáveis:
Simplificando:
Passo 6
Substituindo
na primeira equação:
Cancelando
dos dois lados:
Então, mostramos que
e
.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). Aqui, temos
bolinhas sendo soltas com velocidade
, e queremos mostrar que as velocidades
e
das duas bolinhas mais à direita após a colisão são iguais a
.
Vamos usar novamente as mesmas leis da conservação de quantidade de movimento e energia cinética.
Passo 8
Primeiro, a quantidade de movimento antes da colisão:
Depois da colisão, temos duas bolinhas com velocidades
e
:
Pela conservação da quantidade de movimento:
Simplificando:
Passo 9
Agora, a energia cinética antes da colisão:
Depois:
Pela conservação da energia cinética:
Simplificando:
Passo 10
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos supor que
e ver se isso gera uma contradição. Porém, através das equações, a única solução que satisfaz ambas é
.
Resposta
Portanto, mostramos que
e
na parte (a), e que
quando
na parte (b).