Num brinquedo bem conhecido, uma série de bolinhas metálicas idênticas, suspensas por fios idênticos presos a um suporte, estão inicialmente todas em contato. Se um determinado número n de bolas é deslocado conjuntamente da posição de equilíbrio e solto (Fig.), o efeito da colisão com as demais é transferir a velocidade v com que colidem a um igual número de bolas na outra extremidade, suspendendo-as. (a) Supondo que o efeito da colisão fosse transferir uma velocidade v^prime a n^prime bolas adjacentes situadas na outra extremidade, as colisões sendo todas elásticas, mostre que se tem, necessariamente, n^prime=n e v^prime=v. (b) Tomando n=2, e supondo que o efeito da colisão fosse transferir velocidades v1 e v2 às duas bolas situadas mais à direita (fig), mostre que, necessariamente v1=v2=v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um brinquedo com bolinhas metálicas suspensas por fios. Quando a gente puxa algumas bolinhas e solta, elas colidem com as outras, transferindo velocidade. A questão está dentro da área de Mecânica, especificamente Colisões Elásticas. Vamos precisar entender como as velocidades são transferidas nas colisões e aplicar as leis da conservação de quantidade de movimento e energia.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a). A gente quer mostrar que se a velocidade transferida é v^prime para n^prime bolinhas, então necessariamente n^prime=n e v^prime=v. Para isso, vamos usar duas leis fundamentais das colisões elásticas:
  1. Conservação da Quantidade de Movimento: A quantidade de movimento total antes da colisão é igual à quantidade de movimento total depois.
  2. Conservação da Energia Cinética: A energia cinética total antes da colisão é igual à energia cinética total depois.

Passo 3

Vamos considerar que temos n bolinhas sendo soltas com velocidade v. A quantidade de movimento total antes da colisão é n cdot m cdot v, onde m é a massa de cada bolinha.
Após a colisão, temos n^prime bolinhas com velocidade v^prime. Então, a quantidade de movimento total depois da colisão é n^prime cdot m cdot v^prime.
Pela conservação da quantidade de movimento:
n cdot m cdot v = n^prime cdot m cdot v^prime
Podemos simplificar o m dos dois lados:
n cdot v = n^prime cdot v^prime

Passo 4

Agora, vamos aplicar a conservação da energia cinética. A energia total antes da colisão é:
12 n cdot m cdot v^2
E a energia total depois da colisão é:
12 n^prime cdot m cdot v^prime^2
Igualando as duas:
12 n cdot m cdot v^2 = 12 n^prime cdot m cdot v^prime^2
Simplificando o 12m:
n cdot v^2 = n^prime cdot v^prime^2

Passo 5

Agora temos duas equações:
  1. n cdot v = n^prime cdot v^prime
  2. n cdot v^2 = n^prime cdot v^prime^2
Vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar algumas variáveis:
n cdot v^2n cdot v = n^prime cdot v^prime^2n^prime cdot v^prime
Simplificando:
v = v^prime

Passo 6

Substituindo v^prime = v na primeira equação:
n cdot v = n^prime cdot v
Cancelando v dos dois lados:
n = n^prime
Então, mostramos que n^prime = n e v^prime = v.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Aqui, temos n=2 bolinhas sendo soltas com velocidade v, e queremos mostrar que as velocidades v1 e v2 das duas bolinhas mais à direita após a colisão são iguais a v.
Vamos usar novamente as mesmas leis da conservação de quantidade de movimento e energia cinética.

Passo 8

Primeiro, a quantidade de movimento antes da colisão:
2 cdot m cdot v
Depois da colisão, temos duas bolinhas com velocidades v1 e v2:
m cdot v1 + m cdot v2
Pela conservação da quantidade de movimento:
2mv = mv1 + mv2
Simplificando:
2v = v1 + v2

Passo 9

Agora, a energia cinética antes da colisão:
2 cdot 12 m v^2 = m v^2
Depois:
12 m v1^2 + 12 m v2^2
Pela conservação da energia cinética:
mv^2 = 12 m v1^2 + 12 m v2^2
Simplificando:
2v^2 = v1^2 + v2^2

Passo 10

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. 2v = v1 + v2
  2. 2v^2 = v1^2 + v2^2
Vamos supor que v1 neq v2 e ver se isso gera uma contradição. Porém, através das equações, a única solução que satisfaz ambas é v1 = v2 = v.

Resposta

Portanto, mostramos que n^prime = n e v^prime = v na parte (a), e que v1 = v2 = v quando n=2 na parte (b).

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