Bucontre a transformada de Laplace das seguintes funçöes: ( 4 pontos) f(x) = x * e^(2 * x) * sen(3 * x)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa aqui. A questão pede pra gente encontrar a transformada de Laplace da função . Isso tá ligado ao conteúdo de transformadas de Laplace, que é uma ferramenta usada pra resolver equações diferenciais transformando funções do tempo para o domínio da frequência. Pra resolver, vamos precisar usar as propriedades da transformada de Laplace, especialmente aquelas que lidam com funções exponenciais e produtos de funções como multiplicando outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função é dada por:
No nosso caso, . Mas para facilitar, vamos usar algumas propriedades para simplificar antes de fazer a integração.

Passo 3

Uma propriedade útil é que se a gente tem uma função do tipo , a transformada de Laplace dela pode ser encontrada usando a fórmula:
No nosso caso, , e . Vamos aplicar essa fórmula.

Passo 4

Aplicando os valores na fórmula, temos:
Isso simplifica para:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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