Encontre a transformada de Laplace de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para encontrar a transformada de Laplace da expressão
. Isso faz parte da matéria de transformadas de Laplace, que é super útil para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar as propriedades da transformada de Laplace, especialmente envolvendo integrais e convoluções.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para deixar mais claro. Temos:
Aqui,
está multiplicando uma integral que depende de
. Para facilitar, vamos chamar essa integral de
:
Então, a expressão fica
.
Passo 3
Agora, vamos descobrir a transformada de Laplace de
. Note que
é uma convolução entre
e
. A convolução de duas funções
e
é definida como:
Então, neste caso:
Passo 4
Sabemos que a transformada de Laplace da convolu��ão de duas funções é igual ao produto das transformadas individuais. Ou seja:
Então, vamos calcular as transformadas de
e
:
Passo 5
Agora, aplicando a propriedade da convolução:
Passo 6
Temos agora que a transformada de
é
. Mas a expressão que queremos transformar é
. Para isso, vamos usar a propriedade de que a transformada de Laplace do produto de duas funções no tempo não é direta, a menos que tenhamos alguma relação específica entre elas.
Entretanto, se considerarmos
como uma função independente, precisaríamos de mais informações sobre
para prosseguir. Mas, assumindo que
seja apenas uma constante ou uma função cuja transformada já conhecemos, podemos multiplicar pela transformada de
.
Passo 7
Por fim, se
for uma constante
, então:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
Onde
é a constante associada a
.
Exercícios relacionados
Encontre a transformada inversa de Laplace de
Bucontre a transformada de Laplace das seguintes funçöes: ( 4 pontos)
Mostre que, para quaisquer conjuntos
, tem-se que:
se e somente se
.
(a) a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
;
(b) o ponto no gráfico de em que o plano tangente seja paralelo ao plano obtido no item (a).
(b) o ponto no gráfico de