Encontre a transformada inversa de Laplace de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as propriedades das transformadas de Laplace, especialmente como lidar com termos que envolvem exponenciais no numerador.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a função
em duas partes para facilitar a aplicação da transformada inversa. Podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma fórmula básica da transformada inversa de Laplace:
No nosso caso,
, então
.
Passo 4
Aplicando essa fórmula à primeira parte da nossa função:
Passo 5
Agora, vamos tratar a segunda parte
. Aqui, usamos a propriedade de atraso na transformada de Laplace, que diz:
Onde
é a função degrau de Heaviside que ativa a função
a partir de
.
Passo 6
Aplicando essa propriedade, temos:
Resposta
Portanto, a transformada inversa de Laplace de
é:
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Mostre que, para quaisquer conjuntos
, tem-se que:
se e somente se
.