Bucontre a transformada de Laplace das seguintes funçöes: ( 4 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a Transformada de Laplace da função . Isso envolve entender um pouco sobre a transformação de funções e a função de Heaviside , que basicamente “liga” a função a partir de um certo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função do domínio do tempo ( ) para o domínio da frequência ( ). A fórmula geral é:
No nosso caso, .

Passo 3

Agora, a função é a Função de Heaviside, que é zero para e um para . Portanto, nossa função só “ativa” a partir de .
Isso nos leva a usar uma propriedade da Transformada de Laplace para funções retardadas, que é:

Passo 4

Aplicando essa propriedade, temos:
Aqui, deslocamos a função para porque .

Passo 5

Agora, vamos calcular a Transformada de Laplace de :
Sabemos que:
Então,
Portanto,

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão anterior:
Podemos fatorar para simplificar:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

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j)
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