Bungee jump: Para testar a segurança de uma corda elástica de 25 m de comprimento, utilizada para a prática de bungee-jump, um homem de 70 kg foi até um penhasco de 40 m de altura, amarrou um bloco de ferro de 20 kg em uma das extremidades da corda e o lançou para baixo do penhasco. Quando o bloco atingiu o repouso, ele verificou que o mesmo encontrava-se a 10 m do solo. Desprezando-se a resistência do ar e utilizando a conservação da energia mecânica, responda se é perigoso ou não o homem saltar desse penhasco com essa mesma corda.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos um cenário de bungee jump onde um homem de 70 kg quer saber se é seguro pular de um penhasco usando uma corda elástica de 25 metros. Para testar a corda, ele usou um bloco de ferro de 20 kg e descobriu que, quando o bloco parou, ele estava a 10 metros do solo. Vamos usar a conservação da energia mecânica para resolver isso. Precisamos calcular a energia envolvida no sistema para verificar se a corda aguentaria o peso do homem sem perigo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a situação do bloco de ferro. O penhasco tem 40 metros de altura, e o bloco parou a 10 metros do solo. Isso significa que o bloco caiu 30 metros. A corda tem 25 metros de comprimento, então ela esticou 5 metros além do seu comprimento original quando o bloco parou.

Passo 3

Vamos usar a conservação da energia mecânica, que diz que a energia total (potencial + cinética) permanece constante se não houver perda de energia, como resistência do ar, que estamos desconsiderando aqui.
A energia potencial gravitacional no ponto de partida é convertida em energia elástica da corda quando o bloco para.
A fórmula da energia potencial gravitacional é:
Ep = m cdot g cdot h
E a energia elástica armazenada na corda é:
Ee = 12 k cdot x^2
Onde:
  • é a massa,
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ²),
  • é a altura,
  • é a constante elástica da corda,
  • é a extensão da corda.

Passo 4

No teste com o bloco de 20 kg, temos:
Ep = 20 cdot 9,8 cdot 30 = 5880 , J
E:
Ee = 12 k cdot 5^2 = 252 k
Como a energia potencial é igual à energia elástica:
5880 = 252 k
Resolvendo para k = 5880 cdot 225 = 470,4 , N/m :

Passo 5

Agora, queremos saber a extensão da corda quando o homem de 70 kg pula. Usando a mesma conservação da energia mecânica:
Ep = 70 cdot 9,8 cdot h
Onde htotal = 40 + 25 = 65 , m é a altura que o homem vai descer antes que a corda comece a esticar além de 25 metros.
A corda estica quando a altura do penhasco (40 m) mais o comprimento da corda (25 m) é maior que a distância até o chão.
Vamos calcular a altura total que o homem pode descer sem esticar a corda:
hqueda = htotal - hfinal = 30 , m
Mas queremos saber até onde a corda estica, então:
Isso significa que a corda vai começar a esticar após 40 m, e a extensão será até 65 m.

Passo 6

Vamos calcular a energia potencial do homem:
Ep = 70 cdot 9,8 cdot 40 = 27440 , J
Agora, igualando à energia elástica:
27440 = 12 cdot 470,4 cdot x^2
Resolvendo para x^2 = 27440 cdot 2470,4 :
x^2 approx 116.64
x approx 10.8 , m

Passo 7

A extensão máxima da corda com o homem será de aproximadamente 10,8 metros além dos 25 metros originais, ou seja, 35,8 metros. Considerando que o penhasco tem 40 metros de altura, o homem chegaria a:
hfinal = 40 + 35,8 = 75,8 , m
Isso é acima do solo, já que o penhasco tem apenas 40 metros. Portanto, significa que a corda absorve a energia suficiente para parar a queda do homem sem que ele atinja o solo.

Resposta

Não, não é perigoso o homem saltar do penhasco com essa mesma corda de 25 metros, pois a extensão máxima da corda é suficiente para absorver a energia da queda, evitando que ele chegue ao solo.

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