Carro esportivo: Um carro de massa m cujo motor desenvolve uma potência P desloca-se por uma estrada plana. Encontre uma expressão para a velocidade do carro em função do tempo. A partir da expressão obtida encontre a aceleração em função do tempo. A potência do Chevrolet Camaro 2018 é de 461 cv e sua massa é igual a 1.709 kg, calcule o intervalo de tempo que o camaro leva para atingir 100 km / h, partindo do repouso. Os testes realizados indicam que esse carro leva 4,2 s para ir do (0 a 100) km / h. Neste caso, que percentual da potência desenvolvida pelo motor é efetivamente utilizada para variar a sua velocidade de 0 a 100 km / h? Considere 1 cv simeq 735 W.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um carro esportivo com massa kg e potência do motor cv. Queremos encontrar a velocidade do carro em função do tempo, depois a aceleração, e finalmente calcular o tempo que o carro leva para alcançar km/h partindo do repouso. Além disso, vamos descobrir qual percentual da potência do motor está realmente sendo usado para acelerar o carro. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de potência, força, velocidade e aceleração. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos converter a potência de cavalos-vapor (cv) para watts (W), já que a unidade padrão no SI é o watt. Sabemos que P = 461 , cv times 735 , Wcv = 339, , W cv é aproximadamente igual a W. Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a expressão para a velocidade P = F times v do carro em função do tempo. Sabemos que potência F = m times a é igual a força P = m times a times v multiplicada pela velocidade a = dvdt :
P = m times dvdt times v
A força também é igual à massa dvdt = Pm times v multiplicada pela aceleração :
Substituindo na equação da potência:
Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo :
Substituindo na equação da potência:
Isso pode ser rearranjado para:

Passo 4

Vamos separar as variáveis para integrar a equação:
v , dv = Pm , dt
Integrando ambos os lados:
integral v , dv = integral Pm , dt
Isso resulta em:
12 v^2 = Pm t + C
Como o carro parte do repouso, quando 12 v^2 = Pm t , v^2 = 2Pm t . Então, v(t) = raiz2Pm t . Portanto:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Finalmente, isolando :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a aceleração a(t) = dvdt em função do tempo. Sabemos que:
v(t) = raiz2Pm t
Derivando a(t) = ddt ( raiz2Pm t ) = 12 raiz2Pm times 1raizt = raizP2m t em relação a :
A derivada de é , então:

Passo 6

Agora, vamos calcular o tempo que o Camaro leva para atingir 100 , km/h = 100 times 10003600 , m/s approx 27,78 , m/s . Primeiro, convertemos 27,78 = raiz2Pm t para metros por segundo:
(27,78)^2 = 2Pm t
Usando a expressão de t = m (27,78)^22P :
t = 1.709 times (27,78)^22 times 339 , W
Elevando ambos os lados ao quadrado:
t approx 1.709 times 772, 8678 approx 1.709 times 772,8678 approx 1317,9678 approx 1,94 , s
Isolando :
Substituindo os valores:
Calculando:

Passo 7

Segundo a questão, testes mostram que o carro leva E = 12 m v^2 = 12 times 1.709 times (27,78)^2 approx 12 times 1.709 times 772,8 approx 660,1 , J para ir de Pef = Et = 660,14,2 approx 157,2 , W a Percentual = ( PefP ) times 100% = ( 157,2339 ) times 100% approx 46,3% . Agora, vamos calcular o percentual da potência que está sendo efetivamente utilizada para acelerar o carro.
Primeiro, calculamos a energia cinética adquirida pelo carro:
A potência efetivamente utilizada é a energia dividida pelo tempo:
Agora, calculamos o percentual:

Resposta

O percentual da potência desenvolvida pelo motor que é efetivamente utilizado para acelerar o carro de a é aproximadamente .

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