Obtenha a Lagrangiana para uma partícula movendo-se em uma dimensão ao longo do eixo x e sujeita à força F=-k x (com k positivo). Determine a equação de Lagrange do movimento e resolva-a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a Lagrangiana de uma partícula que se move numa dimensão ao longo do eixo x, sujeita a uma força F = -k x (onde k é positivo). Vamos usar conceitos de Mecânica Lagrangiana, que envolve energia cinética e potencial. Precisamos saber como calcular a energia cinética, a energia potencial e montar a Lagrangiana para depois aplicar as equações de Lagrange e resolver a equação do movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia cinética ( T) da partícula. A energia cinética é dada por:
T = 12 m dotx^2
Aqui, m é a massa da partícula e dotx é a velocidade, que é a derivada de x em relação ao tempo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a energia potencial ( U) associada à força F = -k x. A energia potencial armazenada em uma força restauradora como essa é:
U = 12 k x^2
Isso vem do fato de que a força é a derivada negativa da energia potencial em relação à posição.

Passo 4

Com as expressões de T e U, podemos montar a Lagrangiana ( L), que é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:
L = T - U = 12 m dotx^2 - 12 k x^2

Passo 5

Agora, vamos aplicar as equações de Lagrange para obter a equação do movimento. A equação de Lagrange é:
ddt ( partial Lpartial dotx ) - partial Lpartial x = 0

Passo 6

Vamos calcular as derivadas necessárias. Primeiro, a derivada parcial de L em relação a dotx:
partial Lpartial dotx = m dotx
Agora, derivamos isso em relação ao tempo:
ddt ( m dotx ) = m ddotx
Em seguida, a derivada parcial de L em relação a x:
partial Lpartial x = -k x

Passo 7

Substituindo essas derivadas na equação de Lagrange:
m ddotx - (-k x) = 0
Simplificando:
m ddotx + k x = 0

Passo 8

Essa é a equação diferencial que descreve o movimento da partícula. Para resolver, vamos rearranjá-la:
ddotx + ( km ) x = 0
Essa é a equação de um movimento harmônico simples, cuja solução geral é:
x(t) = A cos( raizkm , t ) + B sin( raizkm , t )
Onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A Lagrangiana é:
L = 12 m dotx^2 - 12 k x^2
A equação de Lagrange do movimento é:
m ddotx + k x = 0
E a solução da equação é:
x(t) = A cos( raizkm , t ) + B sin( raizkm , t )

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