Obtenha a Lagrangiana para uma partícula movendo-se em uma dimensão ao longo do eixo e sujeita à força (com positivo). Determine a equação de Lagrange do movimento e resolva-a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a Lagrangiana de uma partícula que se move numa dimensão ao longo do eixo , sujeita a uma força (onde é positivo). Vamos usar conceitos de Mecânica Lagrangiana, que envolve energia cinética e potencial. Precisamos saber como calcular a energia cinética, a energia potencial e montar a Lagrangiana para depois aplicar as equações de Lagrange e resolver a equação do movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia cinética ( ) da partícula. A energia cinética é dada por:
Aqui, é a massa da partícula e é a velocidade, que é a derivada de em relação ao tempo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a energia potencial ( ) associada à força . A energia potencial armazenada em uma força restauradora como essa é:
Isso vem do fato de que a força é a derivada negativa da energia potencial em relação à posição.

Passo 4

Com as expressões de e , podemos montar a Lagrangiana ( ), que é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as equações de Lagrange para obter a equação do movimento. A equação de Lagrange é:

Passo 6

Vamos calcular as derivadas necessárias. Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Agora, derivamos isso em relação ao tempo:
Em seguida, a derivada parcial de em relação a :

Passo 7

Substituindo essas derivadas na equação de Lagrange:
Simplificando:

Passo 8

Essa é a equação diferencial que descreve o movimento da partícula. Para resolver, vamos rearranjá-la:
Essa é a equação de um movimento harmônico simples, cuja solução geral é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A Lagrangiana é:
A equação de Lagrange do movimento é:
E a solução da equação é:

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