Obtenha a Lagrangiana para uma partícula movendo-se em uma dimensão ao longo do eixo
e sujeita à força
(com
positivo). Determine a equação de Lagrange do movimento e resolva-a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a Lagrangiana de uma partícula que se move numa dimensão ao longo do eixo
, sujeita a uma força
(onde
é positivo). Vamos usar conceitos de Mecânica Lagrangiana, que envolve energia cinética e potencial. Precisamos saber como calcular a energia cinética, a energia potencial e montar a Lagrangiana para depois aplicar as equações de Lagrange e resolver a equação do movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia cinética (
) da partícula. A energia cinética é dada por:
Aqui,
é a massa da partícula e
é a velocidade, que é a derivada de
em relação ao tempo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a energia potencial (
) associada à força
. A energia potencial armazenada em uma força restauradora como essa é:
Isso vem do fato de que a força é a derivada negativa da energia potencial em relação à posição.
Passo 4
Com as expressões de
e
, podemos montar a Lagrangiana (
), que é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as equações de Lagrange para obter a equação do movimento. A equação de Lagrange é:
Passo 6
Vamos calcular as derivadas necessárias. Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, derivamos isso em relação ao tempo:
Em seguida, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 7
Substituindo essas derivadas na equação de Lagrange:
Simplificando:
Passo 8
Essa é a equação diferencial que descreve o movimento da partícula. Para resolver, vamos rearranjá-la:
Essa é a equação de um movimento harmônico simples, cuja solução geral é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A Lagrangiana é:
A equação de Lagrange do movimento é:
E a solução da equação é: