Na busca de aumentar o volume de um recipiente, antes projetado para ter um raio r, uma esfera terá um aumento de 30% no valor do seu raio. Então a área da superfície terá um aumento de:
A) 30%
B) 42%
C) 58%
D) 69%
E) 72%
A) 30%
B) 42%
C) 58%
D) 69%
E) 72%
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre uma esfera cujo raio aumenta 30%. Queremos saber quanto a área da superfície dessa esfera vai aumentar. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas da área da superfície e como ela se relaciona com o raio da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o raio está aumentando. Se o raio original é $ r $, um aumento de 30% significa que o novo raio será:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área da superfície original e a nova. A fórmula para a área da superfície de uma esfera é:
Então, a área original $ A_{original} $ é:
E a nova área $ A_{novo} $ com o raio aumentado é:
Passo 4
Para encontrar o aumento percentual na área, vamos calcular a diferença entre a nova área e a original, dividir pela área original e multiplicar por 100%:
Substituindo os valores:
Resposta
A área da superfície terá um aumento de 69%, ou seja, a opção D.