Na busca de aumentar o volume de um recipiente, antes projetado para ter um raio r, uma esfera terá um aumento de 30% no valor do seu raio. Então a área da superfície terá um aumento de:
A) 30%
B) 42%
C) 58%
D) 69%
E) 72%

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre uma esfera cujo raio aumenta 30%. Queremos saber quanto a área da superfície dessa esfera vai aumentar. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas da área da superfície e como ela se relaciona com o raio da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o raio está aumentando. Se o raio original é $ r $, um aumento de 30% significa que o novo raio será:
r

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da superfície original e a nova. A fórmula para a área da superfície de uma esfera é:
A = 4pi r^2
Então, a área original $ A_{original} $ é:
Aoriginal
E a nova área $ A_{novo} $ com o raio aumentado é:
Aoriginal = 4pi r^2

Passo 4

Para encontrar o aumento percentual na área, vamos calcular a diferença entre a nova área e a original, dividir pela área original e multiplicar por 100%:
Aumento percentual = ( Anovo - AoriginalAoriginal ) times 100%
Substituindo os valores:
Aumento percentual = ( 6,76pi r^2 - 4pi r^24pi r^2 ) times 100% = ( 2,76pi r^24pi r^2 ) times 100% = 0,69 times 100% = 69%

Resposta

A área da superfície terá um aumento de 69%, ou seja, a opção D.

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