Em um Triângulo ABC, os ângulos internos B e C medem 50 e 70 graus, respectivamente. A bissetriz relativa ao vértice A forma com a reta BC dois ângulos suplementares. Assim, a razão entre a medida do menor desses ângulos e a medida do maior desses ângulos é …
a) de 1 para 2
b) de 5 para 6
c) de 4 para 5
d) de 3 para 4
e) de 2 para 3
a) de 1 para 2
b) de 5 para 6
c) de 4 para 5
d) de 3 para 4
e) de 2 para 3
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um triângulo ABC onde os ângulos em B e C medem 50° e 70°, respectivamente. A bissetriz do ângulo em A corta o lado BC formando dois ângulos suplementares. Nosso objetivo é encontrar a razão entre o menor e o maior desses ângulos.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°. Já sabemos que os ângulos em B e C são 50° e 70°. Vamos encontrar o ângulo em A.
Passo 3
Agora, vamos pensar na bissetriz do ângulo A. Uma bissetriz divide o ângulo em duas partes iguais. Então, cada parte da bissetriz será:
Passo 4
A bissetriz corta o lado BC formando dois ângulos suplementares. Isso significa que a soma desses dois ângulos é 180°. Sabemos que um desses ângulos é 30°, então o outro será:
Passo 5
Agora, queremos a razão entre o menor e o maior desses ângulos. O menor é 30° e o maior é 150°. Vamos simplificar essa razão:
Resposta
A razão entre o menor e o maior ângulo é de 1 para 5. No entanto, como essa opção não está disponível nas alternativas, precisamos reavaliar nossos cálculos. Vamos corrigir o passo 4.
Correção do Passo 4:
Na verdade, a bissetriz do ângulo A divide o lado BC em duas partes que formam dois ângulos na base. O correto é aplicar a propriedade da bissetriz que relaciona os lados do triângulo.
A razão entre os segmentos de BC divididos pela bissetriz é igual à razão entre os lados adjacentes:
Mas, como não temos informações sobre os lados, precisamos reconsiderar.
Na verdade, os ângulos formados pela bissetriz com BC são
e
.
A razão entre os menores e maiores ângulos é:
Portanto, a opção mais próxima é:
Resposta: a) de 1 para 2