Quantos números inteiros e estritamente positivos satisfazem a sentença 1/(x - 20) ≤ 1/(12 - x)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir quantos números inteiros e positivos satisfazem a desigualdade 1x - 20 <= 112 - x. Vamos usar conhecimentos de inequações e propriedades das frações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a desigualdade: 1x - 20 <= 112 - x. Para resolver isso, é importante saber como comparar frações. Quando as denominadores são negativos, a desigualdade pode mudar de sentido, então precisamos ter cuidado com os valores de x que tornam os denominadores positivos ou negativos.

Passo 3

Vamos reescrever a desigualdade para facilitar. Note que 12 - x = -(x - 12). Então, a desigualdade fica:
1x - 20 <= 1-(x - 12)
Multiplicando ambos os lados por -(x - 12)(x - 20), que é positivo quando x < 12 ou x > 20, temos:
-(x - 12) <= x - 20

Passo 4

Simplificando a desigualdade:
- x + 12 <= x - 20
Levantando x para o lado esquerdo e os números para o lado direito:
- x - x <= -20 - 12
-2x <= -32
Dividindo ambos os lados por -2 e lembrando que a desigualdade troca de sentido:
x >= 16

Passo 5

Lembrando que x deve ser estritamente positivo e também que os denominadores x - 20 e 12 - x não podem ser zero. Então, x neq 20 e x neq 12.
A solução x >= 16 exclui x = 20, pois não pode ser igual a 20. Portanto, os possíveis valores inteiros de x são 16, 17, 18, 19 e valores acima de 20, exceto 20. Mas como o enunciado pede números estritamente positivos, contamos apenas os inteiros positivos que satisfazem x >= 16 e x neq 20.

Resposta

Existem infinitos números inteiros e estritamente positivos que satisfazem a desigualdade, a partir de x = 16 em diante, excluindo x = 20.

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