Quantos números inteiros e estritamente positivos satisfazem a sentença 1/(x - 20) ≤ 1/(12 - x)?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir quantos números inteiros e positivos satisfazem a desigualdade
. Vamos usar conhecimentos de inequações e propriedades das frações para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a desigualdade:
. Para resolver isso, é importante saber como comparar frações. Quando as denominadores são negativos, a desigualdade pode mudar de sentido, então precisamos ter cuidado com os valores de
que tornam os denominadores positivos ou negativos.
Passo 3
Vamos reescrever a desigualdade para facilitar. Note que
. Então, a desigualdade fica:
Multiplicando ambos os lados por
, que é positivo quando
ou
, temos:
Passo 4
Simplificando a desigualdade:
Levantando
para o lado esquerdo e os números para o lado direito:
Dividindo ambos os lados por -2 e lembrando que a desigualdade troca de sentido:
Passo 5
Lembrando que
deve ser estritamente positivo e também que os denominadores
e
não podem ser zero. Então,
e
.
A solução
exclui
, pois não pode ser igual a 20. Portanto, os possíveis valores inteiros de
são 16, 17, 18, 19 e valores acima de 20, exceto 20. Mas como o enunciado pede números estritamente positivos, contamos apenas os inteiros positivos que satisfazem
e
.
Resposta
Existem infinitos números inteiros e estritamente positivos que satisfazem a desigualdade, a partir de
em diante, excluindo
.