Uma cunha é cortada a partir de um cilindro circular de raio 4 por dois planos. Um plano é perpendicular ao eixo do cilindro. O outro intercepta o primeiro com um ângulo de 30º ao longo de um diâmetro do cilindro. Determine o volume da cunha:
A ) Aproximadamente 32,85.
B ) Aproximadamente 29,87.
C ) Aproximadamente 18,14.
D ) Aproximadamente 24,63.
A ) Aproximadamente 32,85.
B ) Aproximadamente 29,87.
C ) Aproximadamente 18,14.
D ) Aproximadamente 24,63.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro circular com raio 4. Duas “cortes” ou planos estão fazendo uma “cunha” nesse cilindro. O primeiro plano é perpendicular ao eixo do cilindro, ou seja, ele corta o cilindro formando uma base redonda. O segundo plano faz um ângulo de 30 graus com o primeiro plano ao longo de um diâmetro do cilindro. Precisamos descobrir qual é o volume dessa cunha. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria espacial, especificamente sobre cilindros e volumes de troncos e cunhas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o cilindro. O raio dele é 4, então o diâmetro será
. O cilindro possui altura
, que nesse caso será a distância entre os dois planos que estão cortando o cilindro.
Passo 3
O primeiro plano é perpendicular ao eixo do cilindro, então ele cria uma base circular perfeita. O segundo plano corta o cilindro em um ângulo de 30 graus em relação ao primeiro plano ao longo do diâmetro. Isso significa que estamos essencialmente criando uma inclinação no corte.
Passo 4
Para encontrar o volume da cunha, vamos considerar que essa forma é semelhante a um prisma inclinado. O volume de um prisma é dado por:
No nosso caso, a base é o círculo com raio 4, então a área da base é:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a altura efetiva dessa “cunha”. Como o segundo plano está inclinado em 30 graus, a altura efetiva será a projeção da altura real sobre o eixo perpendicular. Se considerarmos que a altura real ao longo do ângulo de 30 graus é
, então a altura perpendicular será:
Mas, como o cilindro foi cortado por dois planos e queremos apenas o volume da parte da cunha, a altura efetiva
na fórmula do volume será:
Passo 6
Sabemos que
. Vamos assumir que a altura
é igual ao diâmetro do cilindro, que é 8, já que o corte é ao longo de um diâmetro. Então:
No entanto, percebemos que essa resposta não está entre as opções dadas. Isso indica que devemos reconsiderar nossa abordagem.
Passo 7
Vamos pensar de outra maneira. A “cunha” que estamos calculando é, na verdade, um setor do cilindro cortado em um ângulo de 30 graus. O volume total do cilindro é:
Como a cunha corresponde a uma fração do cilindro, baseada no ângulo de 30 graus (que é
do círculo completo), o volume da cunha será:
Das opções fornecidas, a mais próxima é aproximadamente 32,85.
Resposta
A resposta correta é a opção A) Aproximadamente 32,85.