Parado em um galho aleatório dentro de um poço, um pássaro observa uma pessoa despencar no poço com velocidade terminal (portanto constante). Ele escuta a freqüência dos gritos da pessoa mudar de 842 para 800 Hz , quando esta passa por ele. Considere que a velocidade do som é , e que o pássaro não está no fundo do poço.
grito gera batimentos quando superposto ao eco proveniente do fundo do poço. Calcular o número de batimentos por segundo que a própria pessoa ouve durante a queda.

Passo 1

Então, temos uma pessoa que está caindo dentro de um poço com velocidade terminal e grita enquanto desce. Um pássaro no galho acima ouve a frequência do grito mudar de 842 Hz para 800 Hz quando a pessoa passa por ele. O exercício pede para calcular o número de batimentos por segundo que a própria pessoa ouve durante a queda, considerando que o grito gera batimentos ao se sobrepor com o eco do fundo do poço. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Efeito Doppler e Batimentos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Efeito Doppler, que é a mudança na frequência de uma onda percebida por um observador que está em movimento relativo à fonte da onda. A fórmula para a frequência observada ( ) quando a fonte se aproxima do observador é:
Onde:
  • é a frequência emitida,
  • é a velocidade do som,
  • é a velocidade do observador,
  • é a velocidade da fonte.
No nosso caso, o pássaro é o observador e a pessoa é a fonte que está se movendo em direção ao pássaro.

Passo 3

Sabemos que a frequência muda de 842 Hz para 800 Hz. Vamos assumir que 842 Hz é a frequência emitida ( ) e 800 Hz é a frequência observada ( ) quando a pessoa está se afastando após passar pelo pássaro.
Como a pessoa está caindo com velocidade constante ( ), e o pássaro está parado ( ), podemos adaptar a fórmula do Efeito Doppler para duas situações:
  1. Quando a pessoa está se aproximando do pássaro:
  1. Quando a pessoa está se afastando do pássaro:

Passo 4

Dado que a frequência observada ao se aproximar é 842 Hz e ao se afastar é 800 Hz, podemos montar as duas equações:
Podemos resolver essas duas equações para encontrar , a velocidade da pessoa.

Passo 5

Dividindo as duas equações:
Multiplicando cruzado:
Somando nos dois lados e isolando :

Passo 6

Agora que sabemos a velocidade da pessoa ( ), vamos calcular a frequência do eco que a pessoa ouve.
Quando a pessoa emite um som, ele se propaga até o fundo do poço e retorna como eco. Como a pessoa está se movendo, tanto na ida quanto na volta do som, o eco terá uma frequência diferente da emitida.
A fórmula para a frequência do eco ( ) considerando a fonte em movimento é:
Simplificando:

Passo 7

Substituindo os valores:

Passo 8

Observamos que a frequência do eco é aproximadamente 800 Hz, que é diferente da frequência emitida .
A fórmula dos batimentos é a diferen��a entre as duas frequências:

Resposta

A pessoa ouve 42 batimentos por segundo durante a queda.

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