Em
calcule a distância e o ângulo entre as funções seno e cosseno com o produto interno sendo dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções, o seno e o cosseno, definidas no intervalo de
a
. O objetivo aqui é calcular a distância entre elas e o ângulo formado entre elas usando um produto interno específico, que é basicamente integrar o produto das duas funções nesse intervalo. Vamos precisar entender conceitos de produto interno, norma e ângulo entre funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é produto interno. No nosso caso, o produto interno de duas funções
e
é dado por:
Esse produto interno nos ajuda a definir a norma de uma função, que é como o “tamanho” da função, e também a calcular o ângulo entre duas funções.
Passo 3
Vamos calcular o produto interno entre o seno e o cosseno:
Sabemos que
. Então,
A integral de
sobre um período completo é zero, então:
Isso já nos diz que as funções são ortogonais no espaço definido.
Passo 4
Agora, vamos calcular a norma de cada função. A norma de uma função
é dada por:
Calculando para
:
Então,
O mesmo vale para
:
Então,
Passo 5
Para encontrar a distância entre
e
, usamos a norma da diferença delas:
Expande isso usando as propriedades do produto interno:
Sabendo que
e
, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular o ângulo
entre as funções usando a fórmula:
Como já vimos que
, temos:
Isso significa que o ângulo
é:
Ou seja, as funções são perpendiculares no espaço considerado.
Resposta
A distância entre as funções seno e cosseno é
e o ângulo entre elas é
radianos.