Em C([0,2 pi] ; R) calcule a distância e o ângulo entre as funções seno e cosseno com o produto interno sendo dado por lang<= f(x), g(x)rang<==integral0^2 pi f(x) g(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções, o seno e o cosseno, definidas no intervalo de a . O objetivo aqui é calcular a distância entre elas e o ângulo formado entre elas usando um produto interno específico, que é basicamente integrar o produto das duas funções nesse intervalo. Vamos precisar entender conceitos de produto interno, norma e ângulo entre funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é produto interno. No nosso caso, o produto interno de duas funções lang<= f, g rang<= = integral0^2pi f(x) g(x) , dx e é dado por:
Esse produto interno nos ajuda a definir a norma de uma função, que é como o “tamanho” da função, e também a calcular o ângulo entre duas funções.

Passo 3

Vamos calcular o produto interno entre o seno e o cosseno:
lang<= sin(x), cos(x) rang<= = integral0^2pi sin(x) cos(x) , dx
Sabemos que integral0^2pi sin(x) cos(x) , dx = 12 integral0^2pi sin(2x) , dx . Então,
lang<= sin(x), cos(x) rang<= = 0
A integral de sobre um período completo é zero, então:
Isso já nos diz que as funções são ortogonais no espaço definido.

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de cada função. A norma de uma função |f| = raizlang<= f, f rang<= é dada por:
lang<= sin(x), sin(x) rang<= = integral0^2pi sin^2(x) , dx = pi
Calculando para |sin(x)| = raizpi :
lang<= cos(x), cos(x) rang<= = integral0^2pi cos^2(x) , dx = pi
Então,
|cos(x)| = raizpi
O mesmo vale para :
Então,

Passo 5

Para encontrar a distância entre |sin(x) - cos(x)| = raizlang<= sin(x) - cos(x), sin(x) - cos(x) rang<= e |sin(x) - cos(x)| = raizlang<= sin(x), sin(x) rang<= - 2lang<= sin(x), cos(x) rang<= + lang<= cos(x), cos(x) rang<= , usamos a norma da diferença delas:
|sin(x) - cos(x)| = raizpi + pi = raiz2pi
Expande isso usando as propriedades do produto interno:
Sabendo que e , temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular o ângulo cos(theta) = lang<= sin(x), cos(x) rang<=|sin(x)| cdot |cos(x)| entre as funções usando a fórmula:
cos(theta) = 0raizpi cdot raizpi = 0
Como já vimos que theta = pi2 radianos , temos:
Isso significa que o ângulo é:
Ou seja, as funções são perpendiculares no espaço considerado.

Resposta

A distância entre as funções seno e cosseno é e o ângulo entre elas é radianos.

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