Em P3(R) considere o produto interno tal que 1, x, x^2, x^3 é uma base ortonormal. Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal para o subespag vetorial W gerado por 3 x^3, 2 x^3-2 x, 3 x+1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando no espaço dos polinômios de grau até 3, denotado por P3(R). A base que temos aí é 1, x, x^2, x^3 e ela é ortonormal, o que significa que esses polinômios são mutuamente perpendiculares e cada um tem norma 1. Nosso objetivo é usar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma nova base ortonormal para o subespaço W gerado por 3x^3, 2x^3-2x, 3x+1.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que formam a base de W: v1 = 3x^3, v2 = 2x^3-2x, e v3 = 3x+1. O processo de Gram-Schmidt vai nos ajudar a transformar esses vetores em uma nova base onde eles são ortogonais entre si.

Passo 3

Começamos com o primeiro vetor u1 = v1 = 3x^3. Agora, queremos que u1 tenha norma 1. A norma de u1 é:
|u1| = raizlang<= u1, u1 rang<= = raizlang<= 3x^3, 3x^3 rang<= = raiz9 lang<= x^3, x^3 rang<= = raiz9 cdot 1 = 3
Então, o primeiro vetor ortonormal é:
e1 = u1|u1| = 3x^33 = x^3

Passo 4

Agora, vamos encontrar u2 a partir de v2 = 2x^3-2x. Subtraímos a projeção de v2 sobre e1:
Proje1 v2 = lang<= v2, e1 rang<= e1 = lang<= 2x^3-2x, x^3 rang<= x^3 = 2 cdot lang<= x^3, x^3 rang<= x^3 - 2 cdot lang<= x, x^3 rang<= x^3 = 2x^3
Então,
u2 = v2 - Proje1 v2 = (2x^3-2x) - 2x^3 = -2x
Agora, normalizamos u2:
|u2| = raizlang<= -2x, -2x rang<= = raiz4 lang<= x, x rang<= = raiz4 cdot 1 = 2
Logo,
e2 = u2|u2| = -2x2 = -x

Passo 5

Por fim, vamos encontrar u3 a partir de v3 = 3x+1. Subtraímos as projeções sobre e1 e e2:
Proje1 v3 = lang<= 3x+1, x^3 rang<= x^3 = 0 (pois lang<= x, x^3 rang<= = lang<= 1, x^3 rang<= = 0)
Proje2 v3 = lang<= 3x+1, -x rang<= (-x) = -3 lang<= x, x rang<= (-x) - lang<= 1, -x rang<= (-x) = 3x
Então,
u3 = v3 - Proje1 v3 - Proje2 v3 = (3x+1) - 0 - 3x = 1
Normalizando u3:
|u3| = raizlang<= 1, 1 rang<= = raiz1 = 1
Assim,
e3 = u3|u3| = 1

Resposta

A base ortonormal para o subespaço W é ,x^3, -x, 1,.

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