considere o produto interno tal que
é uma base ortonormal. Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal para o subespag vetorial
gerado por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando no espaço dos polinômios de grau até 3, denotado por
. A base que temos aí é
e ela é ortonormal, o que significa que esses polinômios são mutuamente perpendiculares e cada um tem norma 1. Nosso objetivo é usar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma nova base ortonormal para o subespaço
gerado por
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que formam a base de
:
,
, e
. O processo de Gram-Schmidt vai nos ajudar a transformar esses vetores em uma nova base onde eles são ortogonais entre si.
Passo 3
Começamos com o primeiro vetor
. Agora, queremos que
tenha norma 1. A norma de
é:
Então, o primeiro vetor ortonormal é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
a partir de
. Subtraímos a projeção de
sobre
:
Então,
Agora, normalizamos
:
Logo,
Passo 5
Por fim, vamos encontrar
a partir de
. Subtraímos as projeções sobre
e
:
Então,
Normalizando
:
Assim,
Resposta
A base ortonormal para o subespaço
é
.